Question

1．某校高三共有男生600名，從所有高三男生中隨機抽取40名測量身高（單位：cm）作為樣本，得到頻率分布表與頻率分布直方圖（部分）如表：

分組	頻數(shù)	頻率
[150，160）	2
[160，170）	n1	f1
[170，180）	14
[180，190）	n2	f2
[190，200]	6

（Ⅰ）求n₁、n₂、f₁、f₂；
（Ⅱ）試估計身高不低于180cm的該校高三男生人數(shù)，并說明理由；
（Ⅲ）從抽取的身高不低于185cm的男生中任取2名參加選拔性測試，已知至少有一個身高不低于190cm的學生的概率為$\frac{9}{11}$，求抽取身高不低于185cm的男生人數(shù)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由頻率分布表得，身高在[180，190）之間的頻率為0.25，由此能求出n₁、n₂、f₁、f₂．
（Ⅱ）身高在[190，200）的頻率為0.15，身高不低于180cm的頻率為0.4，由此可估計該校高三男生身高不低于180cm的人數(shù)．
（Ⅲ）設身高在[185，190）之間的男生有n人，從[185，200）中任取兩人，共有${C}_{n+6}^{2}$種取法，滿足條件的取法為${C}_{n}^{1}{C}_{6}^{1}+{C}_{6}^{2}$，由此利用至少有一個身高不低于190cm的學生的概率為$\frac{9}{11}$，能求出抽取身高不低于185cm的男生人數(shù)．

解答 解：（Ⅰ）由頻率分布表得，身高在[180，190）之間的頻率為0.25，
∴f₂=0.25，
∴n₂=40×0.25=10（人），
n₁=40-2-14-10-6=8（人），
∴f₁=$\frac{8}{40}=0.20$．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，身高在[190，200）的頻率為$\frac{6}{40}=0.15$，
身高不低于180cm的頻率為0.25+0.15=0.4，
故可估計該校高三男生身高不低于180cm的人數(shù)為：
600×0.4=240（人），
故身高不低于180cm的男生有240人．
（Ⅲ）設身高在[185，190）之間的男生有n人，
從[185，200）中任取兩人，共有${C}_{n+6}^{2}$種取法，
滿足條件的取法為${C}_{n}^{1}{C}_{6}^{1}+{C}_{6}^{2}$，
∵至少有一個身高不低于190cm的學生的概率為$\frac{9}{11}$，
∴$\frac{{C}_{n}^{1}{C}_{6}^{1}+{C}_{6}^{2}}{{C}_{n+6}^{2}}$=$\frac{9}{11}$，
解得n=5，
∴抽取身高不低于185cm的男生人數(shù)為11人．

點評 本題考查頻率分布直方圖、莖葉圖的應用，考查概率的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意等可能事件概率計算公式的合理運用．