Question

對(duì)任意實(shí)數(shù)a，b，函數(shù)F(a，b)=

1

2

(a+b-|a-b|)．如果函數(shù)f（x）=sinx，g（x）=cosx，那么對(duì)于函數(shù)G（x）=F（f（x），g（x））．對(duì)于下列五種說(shuō)法：
（1）函數(shù)G（x）的值域是[-

2

，2]；
（2）當(dāng)且僅當(dāng)2kπ+

π

2

＜x＜2(k+1)π(k∈Z)時(shí)，G（x）＜0；
（3）當(dāng)且僅當(dāng)x=2kπ+

π

2

(k∈Z)時(shí)，該函數(shù)取最大值1；
（4）函數(shù)G（x）圖象在[

π

4

，

9π

4

]上相鄰兩個(gè)最高點(diǎn)的距離是相鄰兩個(gè)最低點(diǎn)的距離的4倍；
（5）對(duì)任意實(shí)數(shù)x有G(

5π

4

-x)=G(

5π

4

+x)恒成立．
其中正確結(jié)論的序號(hào)是

（2）（4）（5）

．

Answer 1

分析：由已知可得：G（x）=|）=

sinx，- 3π 4 +2kπ＜x＜ π 4 +2kπ cosx， π 4 +2kπ≤x＜ 5π 4 +2kπ

（k∈Z），逐一分析5個(gè)結(jié)論的真假，可得答案．

解答：解：∵f（x）=sinx，g（x）=cosx，
∴G（x）=F（f（x），g（x））=

1

2

（sinx+cosx-|sinx-cosx|）=

sinx，- 3π 4 +2kπ＜x＜ π 4 +2kπ cosx， π 4 +2kπ≤x＜ 5π 4 +2kπ

（k∈Z），
函數(shù)G（x）的值域是[-

2

2

，1]．故（1）錯(cuò)誤，
當(dāng)且僅當(dāng)2kπ+

π

2

＜x＜2(k+1)π(k∈Z)時(shí)，G（x）＜0，故（2）正確；
當(dāng)且僅當(dāng)x=2kπ+

π

2

(k∈Z)或x=2kπ（k∈Z）時(shí)，該函數(shù)取最大值1，故（3）錯(cuò)誤
函數(shù)G（x）圖象在[

π

4

，

9π

4

]上相鄰兩個(gè)最高點(diǎn)的距離是相鄰兩個(gè)最低點(diǎn)的距離的4倍，正確；
對(duì)任意實(shí)數(shù)x有G(

5π

4

-x)=G(

5π

4

+x)恒成立，正確．
故答案為：（2）（4）（5）

點(diǎn)評(píng)：本題以命題的真假判斷為載體，考查了三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．