Question

如果數列滿足：且，則稱數列為階“歸化數列”．

（1）若某4階“歸化數列”是等比數列，寫出該數列的各項；

（2）若某11階“歸化數列”是等差數列，求該數列的通項公式；

（3）若為n階“歸化數列”，求證：．

 

Answer 1

（1）或；（2）或；（3）證明見解析.

【解析】

試題分析：（1）等比數列是4階“歸化數列”，則有，這樣，于是，從而，，以后各項依次可寫出；（2）等差數列是11階“歸化數列”，則，，這樣有，知當時，，當時，，由此可得的通項公式分別為或；（3）對階“歸化數列”，從已知上我們只能知道在中有正有負，因此為了求，我們可以設是正的，是負的，這樣，，

證畢．

 

（1）設成公比為的等比數列，顯然，則由，

得，解得，由得，解得，

所以數列或為所求四階“歸化數列”； 4分

（2）設等差數列的公差為，由，

所以，所以，即， 6分

當時，與歸化數列的條件相矛盾，

當時，由，所以，

所以 8分

當時，由，所以，

所以（n∈N*，n≤11），

所以（n∈N*，n≤11）， 10分

（3）由已知可知，必有ai>0，也必有aj<0(i，j∈{1，2， ，n，且i≠j)．

設為諸ai中所有大于0的數，為諸ai中所有小于0的數．

由已知得X=++ +=，Y= + + +=－．

所以． 16分

考點：新定義，新定義概念的應用，等差數列與等比數列的通項和前項和公式，不等式的放縮法．