已知數(shù)列{an},滿足an+1=
1
2
an
an+1
 
n為偶數(shù)
n為奇數(shù)
,a4=
5
2
,若bn=a2n-1-1(bn≠0).
(1)求a1; 
(2)求證:{bn}是等比數(shù)列; 
(3)若數(shù)列{an}的前n項和為Sn,求S2n
分析:(1)根據(jù)a4=
5
2
,an+1=
1
2
an
an+1
 
n為偶數(shù)
n為奇數(shù)
,反過來推a3,然后推a2,再推出a1的值;
(2)根據(jù)bn=a2n-1-1,以及an+1=
1
2
an
an+1
 
n為偶數(shù)
n為奇數(shù)
,證明
bn
bn-1
是常數(shù),從而可證明{bn}是等比數(shù)列; 
(3)由(2)可求得a2n-1的通項,從而可求出奇數(shù)項的和,然后根據(jù)奇數(shù)項和偶數(shù)項的關(guān)系,從而可求出S2n
解答:解:(1)∵a4=
5
2
,an+1=
1
2
an
an+1
 
n為偶數(shù)
n為奇數(shù)

∴a3=
5
2
-1=
3
2
,∴a2=3,∴a1=2;
(2)證明:∵bn=a2n-1-1,
bn
bn-1
=
a2n-1-1
a2n-3-1
=
1
2
a2n-2-1
a2n-1-1-1
=
1
2
,
∴數(shù)列{bn}是首項為1,公比為
1
2
的等比數(shù)列;
(3)∵bn=a2n-1-1,
∴a2n-1-1=(a1-1)×(
1
2
)n-1
即a2n-1=(
1
2
)n-1
+1,
∴a1+a3+…+a2n-1=
1•(1-
1
2n
)
1-
1
2
+n=2-
1
2n-1
+n,
又∵a2=a1+1,a4=a3+1,…a2n=a2n-1+1,
∴S2n=2(a1+a3+…+a2n-1)+n=4-
1
2n-2
+3n.
點評:本題主要考查了數(shù)列的遞推關(guān)系,以及等比數(shù)列的判斷和數(shù)列的求和,同時考查了分析問題的能力和轉(zhuǎn)化的思想,運算求解的能力,屬于中檔題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:山東省棗莊市2010屆高三年級調(diào)研考試數(shù)學(xué)文科試題 題型:044

已知數(shù)列{an}滿a1=1,任意n∈N*,有a1+3a2+5a3+…+(2n-1)an=pn(p為常數(shù))

(1)求p的值及數(shù)列{an}的通項公式;

(2)令bn=anan+1(n∈N*),求數(shù)列{bn}的前n項和Sn

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