【題目】如圖,在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中,AM⊥平面A1BD,垂足為M,以下四個結論中正確的個數為( 。
①AM垂直于平面CB1D1;
②直線AM與BB1所成的角為45°;
③AM的延長線過點C1;
④直線AM與平面A1B1C1D1所成的角為60°
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】
①根據AM⊥平面A1BD,平面A1BD∥CB1D1,判斷AM⊥平面CB1D1;
②建立空間直角坐標系,利用坐標表示向量,求出平面BDA1的法向量,求得與的夾角,判斷直線AM與BB1所成的角不是45°;
③求出,判斷它與平面CB1D1的法向量共線,得出AM的延長線過點C1;
④求出AC1與平面A1B1C1D1所成的角,即為直線AM與平面A1B1C1D1所成的角.
對于①,正方體ABCD﹣A1B1C1D1中,AM⊥平面A1BD,
且平面A1BD∥CB1D1,∴AM⊥平面CB1D1,①正確;
對于②,建立空間直角坐標系,如圖所示,
則A(0,0,1),B(1,0,1),C(1,1,1),D(0,1,1),
A1(0,0,0),∴=(﹣1,1,0),=(1,0,1),
設平面BDA1的法向量為=(x,y,z),
則,即,令x=1,則y=1,z=﹣1,∴=(1,1,﹣1),
=(0,0,1),
∴cos<,>==﹣,
∴與的夾角不是45°且不是135°,
又與共線,∴直線AM與BB1所成的角不是45°,②錯誤;
對于③,=(1,1,﹣1),與平面CB1D1的法向量共線,
∴與共線,即AM的延長線過點C1,③正確;
④與共線,且tan∠AC1A1==,
∴AC1與平面A1B1C1D1所成的角是arctan,
即直線AM與平面A1B1C1D1所成的角不是60°,④錯誤;
綜上,正確的命題序號是①③,共2個.
故選:B.
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【題目】一只藥用昆蟲的產卵數y與一定范圍內的溫度x有關,現收集了該種藥用昆蟲的6組觀測數據如下表:
溫度x/℃ | 21 | 23 | 24 | 27 | 29 | 32 |
產卵數y/個 | 6 | 11 | 20 | 27 | 57 | 77 |
經計算得:
,,線性回歸模型的殘差平方和,,
其中分別為觀測數據中的溫度和產卵數,
(1)若用線性回歸模型,求y關于x的回歸方程(精確到0.1);
(2)若用非線性回歸模型求得y關于x的回歸方程為,且相關指數.
①試與1中的回歸模型相比,用說明哪種模型的擬合效果更好.
②用擬合效果好的模型預測溫度為35℃時該用哪種藥用昆蟲的產卵數(結果取整數)
附:一組數據其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計為,;相關指數.
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【題目】(本小題滿分12分)
如圖在直三棱柱ABC—A1B1C1中,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4,點D是AB的
中點.
(1) 求證: AC⊥BC1
(2) 求證:AC1∥平面CDB1
(3) 求異面直線AC1與B1C所成角的余弦值.
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【題目】在平面直角坐標系中,、分別為橢圓的左、右焦點.設不經過焦點的直線與橢圓交于兩個不同的點、,焦點到直線的距離為.若直線、、的斜率依次成等差數列,求的取值范圍.
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【題目】我國古代數學名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題:“遠望巍巍塔七層,紅光點點倍加增,共燈三百八十一,請問尖頭幾盞燈?”意思是:一座7層塔共掛了381盞燈,且相鄰兩層中的下一層燈數是上一層燈數的2倍,則塔的頂層共有燈( )
A. 1盞 B. 3盞 C. 5盞 D. 9盞
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【題目】已知數列{an}為等差數列,數列{an},{bn}滿足a1=b1=2,b2=6,且an+1bn=anbn+bn+1.
(1)求{an}的通項公式;
(2)求{bn}的前n項和Sn.
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【題目】下列命題不正確的是( 。
A.研究兩個變量相關關系時,相關系數r為負數,說明兩個變量線性負相關
B.研究兩個變量相關關系時,相關指數R2越大,說明回歸方程擬合效果越好.
C.命題“x∈R,cosx≤1”的否定命題為“x0∈R,cosx0>1”
D.實數a,b,a>b成立的一個充分不必要條件是a3>b3
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【題目】在平面直角坐標系中, 經過原點的直線將分成左、右兩部分,記左、右兩部分的面積分別為 ,則取得最小值時,直線的斜率( )
A.等于1B.等于C.等于D.不存在
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【題目】某城市戶居民的月平均用電量(單位:度),以,,,,,,分組的頻率分布直方圖如圖.
(1)求直方圖中的值;
(2)求月平均用電量的眾數和中位數;
(3)在月平均用電量為,,,的四組用戶中,用分層抽樣的方法抽取戶居民,則月平均用電量在的用戶中應抽取多少戶?
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