在四棱錐P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD為正方形，PD＝DC，E、F分別是AB、PB的中點(diǎn)．

(Ⅰ)求證：EF⊥CD；

(Ⅱ)求二面角F－DE－B的大�。�

答案：
解析：

　　方法一：(見圖)

　　(Ⅰ)∵AE＝EB，PF＝FB，∴EF∥AP，又∵ABCD為正方形，∴，又∵PD⊥底面ABCD，∴PA⊥CD，∴EF⊥CD．(4分)

　　(Ⅱ)連結(jié)AC，BD，設(shè)AC∩BD＝O，連結(jié)FO，作OH⊥DE于H，連結(jié)FH．因F與O都是中點(diǎn)，∴OF是⊿BDP的中位線，∴OF∥PD，∵PD⊥底面ABCD，∴FO⊥底面ABCD，∴由三垂線定理得FH⊥DE，∴∠FHO是F－DE－B的平面角．

　　設(shè)，則，在△DOE中，，

　　∵△DOE面積為正方形面積的，即為，

　　∴，

　　∴．(12分)

　　方法二：(見圖)

　　(Ⅰ)如上圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以DA、DC、DP所在直線為x、y、x軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，

　　．

　　∴，∴．(4分)

　　(Ⅱ)設(shè)平面DEF的法向量為n1＝(x，y，z)，則，

　　∴，

　　令x＝1得y＝－2，z＝1，∴．

　　而平面ABCD的一個(gè)法向量為，

　　∴．(12分)


練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知在四棱錐P一ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，
PA=AD=1，AB=2，E、F分別是AB、PD的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：AF∥平面PEC；
（Ⅱ）求PC與平面ABCD所成角的正切值；
（Ⅲ）求二面角P-EC-D的正切值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖．在四棱錐P一ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底    面ABCD，PD=DC=2，E是PC的中點(diǎn)．
（1）證明：PA∥平面EDB；
（2）證明：平面PAC⊥平面PDB；
（3）求三梭錐D一ECB的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知在四棱錐P一ABCD中，二面角P一AD一B為60°，∠PDA=45°，∠DAB=90°，∠PAD=90°，∠ADC=135°，
（Ⅰ）求證：平面PAB⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求PD與平面ABCD所成角的正弦值；
（Ⅲ）求二面角P一CD一B的正切值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在四棱錐P一ABCD中，底面ABCD為菱形，∠BAD=60°，Q為AD的中點(diǎn)．PA=PD=AD=2，點(diǎn)M在線段PC上 PM=
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PC
（1）證明：PA∥平面MQB；
（2）若平面PAD⊥平面ABCD，求二面角M-BQ-C．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（本小題滿分14分）在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD與底面ABCD垂直，PD=DC，E是PC的中點(diǎn)，作EF于點(diǎn)F（Ⅰ）證明PA平面EBD．

（Ⅱ）證明PB平面EFD．

（Ⅲ）求二面角的余弦值；

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