Question

已知在四棱錐P一ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，
PA=AD=1，AB=2，E、F分別是AB、PD的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：AF∥平面PEC；
（Ⅱ）求PC與平面ABCD所成角的正切值；
（Ⅲ）求二面角P-EC-D的正切值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）取PC的中點(diǎn)O，連接OF、OE．可得FO∥DC，且FO=

1

2

DC，又FO=AE．AF∥OE又OE?平面PEC，AF?平面PEC，可得線面平行．
（Ⅱ）PA⊥平面ABCD可得∠PCA是直線PC與平面ABCD所成的角．在Rt△PAC中，tan∠PCA=

5

5

．
（Ⅲ）作AM⊥CE，交CE的延長(zhǎng)線于M．連接PM，得PM⊥CE，∴∠PMA是二面角P-EC-D的平面角tan∠PMA=

2

．

解答：解：（Ⅰ）取PC的中點(diǎn)O，連接OF、OE．
∴FO∥DC，且FO=

1

2

DC
∴FO∥AE
又E是AB的中點(diǎn)．且AB=DC．
∴FO=AE．
∴四邊形AEOF是平行四邊形．
∴AF∥OE又OE?平面PEC，AF?平面PEC
∴AF∥平面PEC
（Ⅱ）連接AC
∵PA⊥平面ABCD，∴∠PCA是直線PC與平面ABCD所成的角
在Rt△PAC中，tan∠PCA=

PA

AC

=

1

5

=

5

5

即直線PC與平面ABCD所成的角正切為

5

5

（Ⅲ）作AM⊥CE，交CE的延長(zhǎng)線于M．連接PM，
由三垂線定理，得PM⊥CE
∴∠PMA是二面角P-EC-D的平面角
由△AME∽△CBE，可得AM=

2

2

，
∴tan∠PMA=

PA

AM

=

2

∴二面角P一EC一D的正切為

2

點(diǎn)評(píng)：解決成立問(wèn)題的關(guān)鍵是將空間角找出并且把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題，步驟是一作角二證角三求角四結(jié)論．