Question

某電器商經(jīng)過(guò)多年的經(jīng)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)本店每個(gè)月售出的電冰箱的臺(tái)數(shù)ξ是一個(gè)隨機(jī)變量，它的分布列為：P（ξ=i）=

1

12

（i=1，2，…，12）；設(shè)每售出一臺(tái)電冰箱，電器商獲利300元．如銷(xiāo)售不出，則每臺(tái)每月需花保管費(fèi)100元．問(wèn)電器商每月初購(gòu)進(jìn)多少臺(tái)電冰箱才能使月平均收益最大？

Answer 1

分析：根據(jù)題意設(shè)出變量，設(shè)x為電器商每月初購(gòu)進(jìn)的冰箱的臺(tái)數(shù)，依題意，只需考慮1≤x≤12的情況．設(shè)電器商每月的收益為y，列出關(guān)于x與y之間的關(guān)系式，寫(xiě)出電器商每月獲益的數(shù)學(xué)期望，整理出最簡(jiǎn)結(jié)果，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，求出結(jié)論．

解答：解：設(shè)x為電器商每月初購(gòu)進(jìn)的冰箱的臺(tái)數(shù)，依題意，只需考慮1≤x≤12的情況．
設(shè)電器商每月的收益為y
則y是隨機(jī)變量ξ的函數(shù)，且y=

300x                    (ξ≥x) 300ξ-100(x-ξ)  (ξ＜x).

于是電器商每月獲益的平均數(shù)，即為數(shù)學(xué)期望
Ey=300x（P_x+P_x+1+…+P₁₂）+[300-100（x-1）]P₁+[2×300-100（x-2）]P₂+…+[（x-1）×300-100]P_x-1
=300x(12-x+1)•

1

12

+

1

12

[300•

x(x-1)

2

-100•

(x-1)x

2

]=

25

3

(-2x2+38x)．
∵x∈N^*，
∴當(dāng)x=9或x=10時(shí)，數(shù)學(xué)期望最大．

點(diǎn)評(píng)：本題考查離散型隨機(jī)變量的期望，考查二次函數(shù)的性質(zhì)，是一個(gè)綜合題目，這種題目是概率同函數(shù)結(jié)合的問(wèn)題，一般比較困難，解題時(shí)注意自變量的取值范圍．