Question

如圖，A地到火車站共有兩條路徑L1和L2，據(jù)統(tǒng)計(jì)，通過兩條路徑所用的時(shí)間互不影響，所用時(shí)間落在各時(shí)間段內(nèi)的頻率如下表：

所用時(shí)間（分鐘）	10～20	20～30	30～40	40～50	50～60
L1的頻率	0.1	0.2	0.3	0.2	0.2
L2的頻率	0	0.1	0.4	0.4	0.1

現(xiàn)甲、乙兩人分別有40分鐘和50分鐘時(shí)間用于趕往火車站．
（Ⅰ）為了盡最大可能在各自允許的時(shí)間內(nèi)趕到火車站，甲和乙應(yīng)如何選擇各自的路徑？
（Ⅱ）用X表示甲、乙兩人中在允許的時(shí)間內(nèi)能趕到火車站的人數(shù)，針對(duì)（Ⅰ）的選擇方案，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（I）A_i表示事件“甲選擇路徑L_i時(shí)，40分鐘內(nèi)趕到火車站”，B_i表示事件“乙選擇路徑Li時(shí)，50分鐘內(nèi)趕到火車站”，用頻率估計(jì)相應(yīng)的概率P（A₁），P（A₂）比較兩者的大小，及P（B₁），P（B₂）的從而進(jìn)行判斷甲與乙路徑的選擇；
（II）A，B分別表示針對(duì)（Ⅰ）的選擇方案，甲、乙在各自允許的時(shí)間內(nèi)趕到火車站，由（I）知P（A）=0.6，P（B）=0.9，且甲、乙相互獨(dú)立，X可能取值為0，1，2，分別代入相互獨(dú)立事件的概率公式求解對(duì)應(yīng)的概率，再進(jìn)行求解期望即可

解答：解：（Ⅰ）A_i表示事件“甲選擇路徑L_i時(shí)，40分鐘內(nèi)趕到火車站”，
B_i表示事件“乙選擇路徑Li時(shí)，50分鐘內(nèi)趕到火車站”，
i=1，2．用頻率估計(jì)相應(yīng)的概率可得
∵P（A₁）=0.1+0.2+0.3=0.6，
P（A₂）=0.1+0.4=0.5，∵P（A₁）＞P（A₂）
∴甲應(yīng)選擇L_i
P（B₁）=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8，
P（B₂）=0.1+0.4+0.4=0.9，
∵P（B₂）＞P（B₁），∴乙應(yīng)選擇L2．
（Ⅱ）A，B分別表示針對(duì)（Ⅰ）的選擇方案，甲、乙在各自允許的時(shí)間內(nèi)趕到火車站，
由（Ⅰ）知P（A）=0.6，P（B）=0.9，
又由題意知，A，B獨(dú)立，
P(X=0)=P(

.

A

.

B

)=P(

.

A

)P(

.

B

)=0.4×0.1=0.04
P（x=1）=P（

.

A

B+A

.

B

）=P（

.

A

）P（B）+P（A）P（

.

B

）
=0.4×0.9+0.6×0.1=0.42
P（X=2）=P（AB）=P（A）（B）=0.6×0.9=0.54
X的分布列：

X	0	1	2
P	0.04	0.42	0.54

EX=0×0.04+1×0.42+2×0.54=1.5．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了隨機(jī)抽樣用樣本估計(jì)總體的應(yīng)用，相互獨(dú)立事件的概率的求解，離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望與分布列的求解，屬于基本知識(shí)在實(shí)際問題中的應(yīng)用．