Question

已知f（x）=1+2^x+2•4^x，若f（x）＞a恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：設t=2^x，利用換元法將函數(shù)轉化為一元二次函數(shù)，利用一元二次函數(shù)的最值性質即可得到結論．

解答： 解：設t=2^x，則t＞0，
則函數(shù)f（x）等價為g（t）=1+t+2t²=2（t+

1

4

）²+

7

8

，
函數(shù)的對稱軸t=-

1

4

，
∵t＞0，
∴函數(shù)g（t）在（0，+∞）上單調遞增，
∴g（t）＞g（0）=1，
即函數(shù)f（x）＞1，
若f（x）＞a恒成立，則a≤1，
故答案為：（-∞，1]．

點評：本題主要考查函數(shù)恒成立問題，利用換元法結合指數(shù)函數(shù)的圖象和性質，轉化為一元二次函數(shù)是解決本題的關鍵．