Question

設(shè)a，b是方程x²+x•cotθ-cosθ=0的兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，那么過(guò)點(diǎn)A（a，a²）和B（b，b²）的直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系是（ ）
A．相離
B．相切
C．相交
D．隨θ的變化而變化

Answer 1

【答案】分析：由a與b為一元二次方程的兩個(gè)不等的實(shí)根，利用韋達(dá)定理表示出a+b和ab，求出AB的斜率寫(xiě)出直線(xiàn)AB的方程，由直線(xiàn)AB與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)都在橢圓內(nèi)可知直線(xiàn)與橢圓相交
解答：解：由題意可得，a+b=-cotθ，ab=-cosθ，且cot²θ+4cosθ＞0
又A（a，a²）、B（b，b²），
得到直線(xiàn)AB的斜率k=a+b，
所以直線(xiàn)l_AB：y-b²=（b+a）（x-b）即y=（b+a）x-ab
∴cotθ x+y-cosθ=0
令x=0，y=cosθ，與y軸交點(diǎn)（0，cosθ）在橢圓內(nèi)
令y=0，x=-sinθ，與y軸交點(diǎn)（0，sinθ）在橢圓內(nèi)
直線(xiàn)AB與橢圓x²+=1的位置關(guān)系是相交
故選C
點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生靈活運(yùn)用韋達(dá)定理，由兩點(diǎn)確定直線(xiàn)的斜率、直線(xiàn)方程，注意本題的解法可以簡(jiǎn)化基本運(yùn)算