Question

已知向量

a

=（sinx，

3

4

），

b

=（cosx，-1）．
（1）當(dāng)

a

∥

b

時(shí)，求tan（x-

π

4

）的值；
（2）設(shè)函數(shù)f（x）=2（

a

+

b

）•

b

，當(dāng)x∈[0，

π

2

]時(shí)，求f（x）的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示

專題：計(jì)算題,三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),平面向量及應(yīng)用

分析：（1）運(yùn)用向量的關(guān)系的坐標(biāo)表示和同角的商數(shù)關(guān)系及兩角差的正切公式，計(jì)算即可得到；
（2）運(yùn)用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示和二倍角公式及兩角和的正弦公式，化簡(jiǎn)f（x），再由正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，即可得到f（x）的值域．

解答： 解：（1）

a

∥

b

即有

3

4

cosx+sinx=0，即tanx=-

3

4

，
tan（x-

π

4

）=

tanx-1

1+tanx

=

- 3 4 -1

1- 3 4

=-7；
（2）f（x）=2（

a

+

b

）•

b

=2cosx（sinx+cosx）+

1

2

=sin2x+cos2x+

3

2

=

2

sin（2x+

π

4

）+

3

2

，
當(dāng)x∈[0，

π

2

]時(shí)，2x+

π

4

∈[

π

4

，

5π

4

]，
即-

2

2

≤sin(2x+

π

4

)≤1，
則

1

2

≤f（x）≤

3

2

+

2

，
則f（x）的值域?yàn)閇

1

2

，

3

2

+

2

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面向量的共線和數(shù)量積的坐標(biāo)表示，考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)和求值，考查正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．