Question

已知平面向量

a

=（-

3

，1），

b

=（

1

2

，

3

2

），

c

=-

1

4

a

+m

b

，

d

=cos²x

a

+sinx

b

，f（x）=

c

•

d

，x∈R．
（1）當m=2時，求y=f（x）的取值范圍； 
（2）設g（x）=f（x）-m²+2m+5，是否存在實數m，使得y=g（x）有最大值2，若存在，求出所有滿足條件的m值，若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：平面向量數量積的運算,兩角和與差的正弦函數,正弦函數的定義域和值域

專題：平面向量及應用

分析：（1）當m=2時，求出

c

和

d

的坐標，可得函數y=f（x）=

c

•

d

=2-（sinx-1）²，再利用二次函數的性質求得函數的值域．
（2）根據

c

和

d

的坐標，求得函數y=f（x）=

c

•

d

=cos²x+msinx，可得g（x）的解析式．令sinx=t，則-1≤t≤1，g（x）=h（t）=-t²+mt-m²+2m+6，函數h（t）的對稱軸為 t=

m

2

，再分當

m

2

＜0時和當m≥0時兩種情況，分別利用二次函數的單調性以及g（x）有最大值2，求得m的值，從而得出結論．

解答： 解：（1）當m=2時，

c

=-

1

4

a

+2

b

=（-

3

4

+1，

1

4

+

3

），

d

=cos²x

a

+sinx

b

=（

1

2

sinx-

3

cos²x，

3

2

sinx+cos²x ），
函數y=f（x）=

c

•

d

=（-

3

4

+1）•（

1

2

sinx-

3

cos²x ）+（

1

4

+

3

）•（

3

2

sinx+cos²x ）
=cos²x+2sinx=1-sin²x+2sinx=2-（sinx-1）²，
故當sinx=1時，函數y取得最大值為2，當sinx=-1時，函數y取得最小值為-2，
故函數的值域為[-2，2]．
（2）∵

c

=-

1

4

a

+m

b

=（-

3

4

+

m

2

，

1

4

+

m 3

2

），

d

=cos²x

a

+sinx

b

=（

1

2

sinx-

3

cos²x，

3

2

sinx+cos²x ），
函數y=f（x）=

c

•

d

=（-

3

4

+

m

2

）•（

1

2

sinx-

3

cos²x ）+（

1

4

+

m 3

2

）•（

3

2

sinx+cos²x ）
=cos²x+msinx，
∴g（x）=f（x）-m²+2m+5=cos²x+msinx-m²+2m+5=1-sin²x+msinx-m²+2m+5 
=-sin²x+msinx-m²+2m+6．
令sinx=t，則-1≤t≤1，g（x）=h（t）=-t²+mt-m²+2m+6，函數h（t）的對稱軸為 t=

m

2

，
當

m

2

＜0時，h（t）的最大值為h（1）=-1+m-m²+2m+6=2，求得m=

3- 21

2

．
當m≥0時，h（t）的最大值為h（-1）=-1-m-m²+2m+6=2，求得m=

1+ 13

2

．
綜上可得，存在實數m=

3- 21

2

 或m=

1+ 13

2

，使得y=g（x）有最大值2．

點評：本題主要考查兩個向量的數量積的運算，二次函數的性質，求函數的最值，體現了轉化、分類討論的數學思想，屬于中檔題．