【題目】已知函數(shù),其中
.
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)若函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)
,
(其中
),且
的取值范圍為
,求
的取值范圍.
【答案】(1)答案不唯一,具體見(jiàn)解析(2)
【解析】
(1)對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo),將導(dǎo)數(shù)的正負(fù)轉(zhuǎn)化成研究一元二次函數(shù)的根的分布問(wèn)題;
(2)利用韋達(dá)定理得到,
,將
轉(zhuǎn)化成關(guān)于
的表達(dá)式,再利用換元法令
,從而構(gòu)造函數(shù)
,根據(jù)函數(shù)的值域可得自變量
的范圍,進(jìn)而得到
的取值范圍.
解:(1).
令,則
.
①當(dāng)或
,即
時(shí),
恒成立,所以
在
上單調(diào)遞增.
②當(dāng),即
時(shí),
由,得
或
;
由,得
,
∴在
和
上單調(diào)遞增,
在上單調(diào)遞減.
綜上所述,當(dāng)時(shí),
在
上單調(diào)遞增;
當(dāng)時(shí),
在
和
上單調(diào)遞增,
在上單調(diào)遞減.
(2)由(1)得,當(dāng)時(shí),
有兩極值點(diǎn)
,
(其中
).
由(1)得,
為
的兩根,所以
,
.
所以
.
令,則
,
因?yàn)?/span>,
所以在
上單調(diào)遞減,而
,
,
所以,
又,易知
在
上單調(diào)遞增,
所以,
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)求函數(shù)f(x)在[0,π]上的單調(diào)遞減區(qū)間;
(2)在銳角△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)邊為a,b,c,已知f(A)=﹣1,a=2,求△ABC的面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn).
(Ⅰ)求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(Ⅱ)若對(duì)任意存在
使得
成立,證明:
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,曲線
的參數(shù)方程為
(
為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)
為極點(diǎn),
軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,直線
的極坐標(biāo)方程為
.
(Ⅰ)求曲線的普通方程與直線
的直角坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)若與平行的直線
與曲線
交于
,
兩點(diǎn).且在
軸的截距為整數(shù),
的面積為
,求直線
的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)甲、乙兩人每次射擊命中目標(biāo)的概率分別為和
,且各次射擊互相獨(dú)立.
(1)若甲、乙兩人各射擊1次,求至少有一人命中目標(biāo)的概率;
(2)若甲連續(xù)射擊3次,設(shè)命中目標(biāo)次數(shù)為,求命中目標(biāo)次數(shù)
的分布列及數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,直角坐標(biāo)系中,圓的方程為,
,
,
為圓上三個(gè)定點(diǎn),某同學(xué)從
點(diǎn)開(kāi)始,用擲骰子的方法移動(dòng)棋子.規(guī)定:①每擲一次骰子,把一枚棋子從一個(gè)定點(diǎn)沿圓弧移動(dòng)到相鄰下一個(gè)定點(diǎn);②棋子移動(dòng)的方向由擲骰子決定,若擲出骰子的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù),則按圖中箭頭方向移動(dòng);若擲出骰子的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù),則按圖中箭頭相反的方向移動(dòng).設(shè)擲骰子
次時(shí),棋子移動(dòng)到
,
,
處的概率分別為
,
,
.例如:擲骰子一次時(shí),棋子移動(dòng)到
,
,
處的概率分別為
,
,
.
(1)分別擲骰子二次,三次時(shí),求棋子分別移動(dòng)到,
,
處的概率;
(2)擲骰子次時(shí),若以
軸非負(fù)半軸為始邊,以射線
,
,
為終邊的角的余弦值記為隨機(jī)變量
,求
的分布列和數(shù)學(xué)期望;
(3)記,
,
,其中
.證明:數(shù)列
是等比數(shù)列,并求
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】假定某射手每次射擊命中的概率為,且只有3發(fā)子彈.該射手一旦射中目標(biāo),就停止射擊,否則就一直獨(dú)立地射擊到子彈用完.設(shè)耗用子彈數(shù)為X,求:
(1)目標(biāo)被擊中的概率;
(2)X的概率分布列;
(3)均值,方差V(X).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】2021年起,我省將實(shí)行“3+1+2”高考模式,某中學(xué)為了解本校學(xué)生的選考情況,隨機(jī)調(diào)查了100位學(xué)生,其中選考化學(xué)或生物的學(xué)生共有70位,選考化學(xué)的學(xué)生共有40位,選考化學(xué)且選考生物的學(xué)生共有20位.若該校共有1500位學(xué)生,則該校選考生物的學(xué)生人數(shù)的估計(jì)值為( )
A.300B.450C.600D.750
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知,
是橢圓T.
上的兩點(diǎn),且A點(diǎn)位于第一象限.過(guò)A做x軸的垂線,垂足為點(diǎn)C,點(diǎn)D滿(mǎn)足
,延長(zhǎng)
交T于點(diǎn)
.
(1)設(shè)直線,
的斜率分別為
,
.
(i)求證:;
(ii)證明:是直角三角形;
(2)求的面積的最大值.
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