Question

【題目】已知函數(shù)f（x）＝ex﹣有兩個(gè)極值點(diǎn)．

（1）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（2）若函數(shù)f（x）的兩個(gè)極值點(diǎn)分別為x1，x2，求證：x1+x2＞2．

Answer 1

【答案】（1）（e，+∞）；（2）見解析

【解析】

（1）f′（x）＝ex﹣ax．函數(shù)f（x）＝ex有兩個(gè)極值點(diǎn)f′（x）＝ex﹣ax＝0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．x＝0時(shí)不滿足上述方程，方程化為：a，令g（x），（x≠0）．利用導(dǎo)數(shù)已經(jīng)其單調(diào)性即可得出．

（2）由（1）可知：a＞e時(shí)，函數(shù)f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)分別為，x2，不妨設(shè)＜，+＞2＞2﹣＞1，由，因此即證明：．構(gòu)造函數(shù)h（x），0＜x＜1，2﹣x＞1．利用導(dǎo)數(shù)已經(jīng)其單調(diào)性即可得出．

（1）解：f′（x）＝ex﹣ax．

∵函數(shù)f（x）＝ex有兩個(gè)極值點(diǎn)．

∴f′（x）＝ex﹣ax＝0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．

x＝0時(shí)不滿足上述方程，

方程化為：a，

令g（x），（x≠0）．

g′（x），

可得：x＜0時(shí)，g′（x）＜0，函數(shù)g（x）單調(diào)遞減；0＜x＜1時(shí)，g′（x）＜0，函數(shù)g（x）單調(diào)遞減；x＞1時(shí)，g′（x）＞0，函數(shù)g（x）單調(diào)遞增．

g（1）=e,得到函數(shù)草圖如圖所示.

a＞e時(shí)，方程f′（x）＝ex﹣ax＝0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．

∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是（e，+∞）．

（2）證明：由（1）可知：a＞e時(shí)，函數(shù)f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)分別為x1，x2，不妨設(shè)x1＜x2．

證明：+＞2＞2﹣＞1，

由，因此即證明：．

構(gòu)造函數(shù)h（x），0＜x＜1，2﹣x＞1．

h′（x）（x﹣1），

令函數(shù)u（x），（0＜x＜2）．

u′（x）．

可得函數(shù)u（x）在（0，2）內(nèi)單調(diào)遞減，于是函數(shù)v（x）在（0，1）內(nèi)單調(diào)遞減．

v（x）≥v（1）＝0．∴h′（x）（x﹣1）,h（x）在（0，1）內(nèi)單調(diào)遞減．

∴h（x）＞h（1）＝0,

∴．

因此+＞2成立．