Question

如圖，在直三棱柱ABC―A₁B₁C₁中，BA=BC=BB₁=2，∠ABC=90°，點(diǎn)D、E分別是棱AC和BB₁的中點(diǎn)，點(diǎn)F是棱B₁C₁的動點(diǎn).

   （1）證明A₁E⊥DF；

   （2）求點(diǎn)E到平面AB₁C的距離；

   （3）求二面角B₁―A₁C―C₁的大小.

Answer 1

法一：

                                 

（1）作線段AB的中點(diǎn)G，連接GD，GB₁，

所以

所以GD=B₁F，所以FD//B₁G，

因?yàn)槿�棱柱是直三棱柱�?sub>

所以FB₁⊥B₁A₁AB，B₁G是線段FD在平面B₁A₁AB上的射影；

在正方形A₁ABB₁中，因?yàn)镚，E分別是線段AB與B₁B的中點(diǎn)，所以△A₁B₁E與△B₁BG全等，因此∠B₁GB=∠B₁EA₁，

所以∠B₁GB+∠EB₁G=∠B₁EA₁+∠EB₁G=，則A₁E⊥B₁G，所以A₁E⊥DF

（2）設(shè)求點(diǎn)E到平面AB₁C的距離為d，因?yàn)锳B⊥平面B₁EC，

由所以

因?yàn)?sub>

所以   

   （3）在等腰直角三角形A₁B₁C₁中過點(diǎn)B₁作斜邊A₁C₁有垂線，垂足為H，

所以B₁H⊥平面A₁ACC₁，在平面A₁ACC₁中過點(diǎn)H作直線A₁C的垂線，

垂足為I連接B₁C，則∠B₁IH就是二面角求二面角B₁―A₁C―C₁的平面角，

    等腰，

    在

    所以，即二面角B₁―A₁C―C₁的大小為

    法二：（1）以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，以BA，BC，BB₁所在直線為x，y，z軸建立直角坐標(biāo)系，則A（2，0，0），C（0，2，0），D（1，1，0），A₁（2，0，2）

    設(shè)F（0，y，2），則A₁E=（－2，0，－1），DF（－1，y－1，2），則，所以

   （2）易求平面AB₁C的法向量為

    所以點(diǎn)E到平面AB₁C的距離為

   （3）易求平面A₁CC₁的法向量為平面B₁A₁C的法向量為

    所以，所以，

即二面角B₁―A₁C―C₁的大小為