Question

函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)镽，若存在常數(shù)M＞0，使得|f（x）|≥M|x|對(duì)一切實(shí)數(shù)x均成立，則稱(chēng)f（x）為“圓錐托底型”函數(shù)．
（1）判斷函數(shù)f（x）=2x，g（x）=x³是否為“圓錐托底型”函數(shù)？并說(shuō)明理由．
（2）若f（x）=x²+1是“圓錐托底型”函數(shù)，求出M的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：基本不等式

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用“圓錐托底型”函數(shù)的定義即可判斷出；
（2）由于f（x）=x²+1是“圓錐托底型”函數(shù)，故存在M＞0，使得|f（x）|=|x²+1|≥M|x|對(duì)于任意實(shí)數(shù)恒成立．x≠0時(shí)，M≤|x+

1

x

|=|x|+

1

|x|

，利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．對(duì)x=0時(shí)直接驗(yàn)證即可．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=2x．∵|2x|=2|x|≥2|x|，即對(duì)于一切實(shí)數(shù)x使得|f（x）|≥2|x|成立，
∴函數(shù)f（x）=2x是“圓錐托底型”函數(shù)．
對(duì)于g（x）=x³，如果存在M＞0滿(mǎn)足|x³|≥M|x|，而當(dāng)x=

M 2

時(shí)，由|

M 2

|3≥M|

M 2

|，
∴

M

2

≥M，得M≤0，矛盾，
∴g（x）=x³不是“圓錐托底型”函數(shù)．

（2）∵f（x）=x²+1是“圓錐托底型”函數(shù)，故存在M＞0，使得|f（x）|=|x²+1|≥M|x|對(duì)于任意實(shí)數(shù)恒成立．
∴x≠0時(shí)，M≤|x+

1

x

|=|x|+

1

|x|

，此時(shí)當(dāng)x=±1時(shí)，|x|+

1

|x|

取得最小值2，
∴M≤2．而當(dāng)x=0時(shí)，也成立．
∴M的最大值等于2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了新定義、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．