Question

如圖，在四面體ABCD中，CB=CD，AD⊥BD，點E，F分別是AB，BD的中點．
（Ⅰ）求證：平面EFC⊥平面BCD；
（Ⅱ）若平面ABD⊥平面BCD，且AD=BD=BC=1，求三棱錐B-ADC的體積．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）△ABD中根據中位線定理，得EF∥AD，結合AD⊥BD得EF⊥BD．再在等腰△BCD中，得到CF⊥BD，結合線面垂直的判定定理，得出BD⊥面EFC，從而得到平面EFC⊥平面BCD．
（2）根據平面ABD⊥平面BCD，結合面面垂直的性質定理，可證出AD⊥面BCD，得AD是三棱錐A-BCD的高，計算出等邊△BCD的面積，利用錐體體積公式算出三棱錐A-BCD的體積，即可得到三棱錐B-ADC的體積．
解答：解：（Ⅰ）∵△ABD中，E、F分別是AB，BD的中點，
∴EF∥AD．…（1分）
∵AD⊥BD，∴EF⊥BD．…（2分）
∵△BCD中，CB=CD，F是BD的中點，∴CF⊥BD．…（3分）
∵CF∩EF=F，∴BD⊥面EFC．…（5分）
∵BD?面BDC，∴平面EFC⊥平面BCD．…（6分）
（Ⅱ）∵面ABD⊥面BCD，面ABD∩面BCD=BD，AD⊥BD，
∴AD⊥面BCD，得AD是三棱錐A-BCD的高．…（8分）
∵BD=BC=1且CB=CD，∴△BCD是正三角形．…（10分）
因此，，
∴三棱錐B-ADC的體積為．…（12分）
點評：本題在特殊的四面體中，證明面面垂直并且求錐體的體積，著重考查了線面垂直、面面垂直的判定與性質和錐體體積公式等知識，屬于基礎題．