精英家教網(wǎng)如圖,在四面體ABCD中,DA=DB=DC=1,且DA,DB,DC兩兩互相垂直,點(diǎn)O是△ABC的中心,將△DAO繞直線DO旋轉(zhuǎn)一周,則在旋轉(zhuǎn)過程中,直線DA與BC所成角的余弦值的取值范圍是( 。
A、[0, 
6
3
]
B、[0, 
3
2
]
C、[0, 
2
2
]
D、[0, 
3
3
]
分析:根據(jù)異面直線所成角的定義,可得當(dāng)直線DA與直線BC垂直時(shí)它們的所成角是90°,達(dá)到最大值.由直線與平面所成角的性質(zhì),當(dāng)點(diǎn)A滿足直線BC與OA平行時(shí),直線DA與直線BC所成角等于∠OAD,達(dá)到最小值.由此結(jié)合題中數(shù)據(jù)加以計(jì)算,即可得到DA與BC所成角的余弦值的取值范圍.
解答:解:根據(jù)題意,可得在旋轉(zhuǎn)過程中,當(dāng)直線DA與直線BC垂直時(shí)它們的所成角為90°,精英家教網(wǎng)
此時(shí)兩條直線所成的角的余弦值為0,達(dá)到最小值.
當(dāng)點(diǎn)A滿足直線BC與OA平行時(shí),DA與BC所成的角等于∠OAD,由直線與平面所成角的性質(zhì),可得此時(shí)兩條直線所成的角達(dá)到最小值,余弦值達(dá)到最大值.
∵DA=DB=DC=1,且DA,DB,DC兩兩互相垂直,
∴AB=BC=CA=
2
,得到△ABC是邊長為
2
的等邊三角形,
因此圓0的半徑R=
3
3
AB=
6
3
,
設(shè)直線BC與OA平行時(shí)的點(diǎn)A的位置為A',
∴Rt△AOD中,cos∠OA'D=
OA′
A′D
=
6
3
,即DA與BC所成的余弦值最大值為
6
3
,
綜上所述,直線DA與直線BC所成角余弦值的取值范圍是[0,
6
3
].
故選:A
點(diǎn)評:本題給出正三棱錐中,在Rt△AOD旋轉(zhuǎn)過程中求直線DA與直線BC所成角余弦值的取值范圍.著重考查了直線與平面所成角的性質(zhì)、異面直線所成角的定義與求法、余弦的定義與單調(diào)性等知識,屬于中檔題.
練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,在正三角形ABC中,D,E,F(xiàn)分別為各邊的中點(diǎn),G,H分別為DE,AF的中點(diǎn),將△ABC沿DE,EF,DF折成正四面體P-DEF,則四面體中異面直線PG與DH所成的角的余弦值為
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在正三角形ABC中,D,E,F(xiàn)分別為各邊的中點(diǎn),G,H分別為DE,AF的中點(diǎn),將△ABC沿DE,EF,DF折成正四面體P-DEF,則四面體中異面直線PG與DH所成的角的余弦值為( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在四面體ABCD中,BC⊥面ACD,DA=DC,E、F分別為AB、AC的中點(diǎn).
(1)求證:直線EF∥面BCD;
(2)求證:面DEF⊥面ABC.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2009•武漢模擬)如圖,在四面體A-BCD中,AB=AD=
2
,BD=2,DC=1
,且BD⊥DC,二面角A-BD-C大小為60°.
(1)求證:平面ABC上平面BCD;
(2)求直線CD與平面ABC所成角的正弦值.

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