Question

已知函數(shù)f（x）對于一切x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y）且f（x）在R上為減函數(shù)，當x＞0時，f（x）＜0，f（1）=-2
（1）求f（0），f（2）的值．    
（2）判定函數(shù)的奇偶性．
（3）若f（x²-2x+3）＜f（x²+x），求x的取值范圍．

Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應用,奇偶性與單調(diào)性的綜合

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）由題意，f（0）=f（0）+f（0），f（2）=f（1）+f（1）=-4；從而求f（0），f（2）的值；
（2）令y=-x，則f（0）=f（x）+f（-x），從而得到f（x）+f（-x）=0，從而可得函數(shù)的奇偶性；
（3）由f（x）在R上為減函數(shù)可得f（x²-2x+3）＜f（x²+x）化為x²-2x+3＜x²+x，從而求x的取值范圍．

解答： 解：（1）∵對于一切x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），
∴f（0）=f（0）+f（0），
∴f（0）=0，
f（2）=f（1）+f（1）=-4；
（2）令y=-x，
則f（0）=f（x）+f（-x），
故f（x）+f（-x）=0，
故f（x）是奇函數(shù)；
（3）∵f（x）在R上為減函數(shù)，
∴f（x²-2x+3）＜f（x²+x）可化為x²-2x+3＜x²+x，
∴x＜-1．

點評：本題考查了抽象函數(shù)的應用，屬于中檔題．