Question

x₁與x₂分別是實(shí)系數(shù)方程ax²+bx+c=0和-ax²+bx+c=0的一個(gè)根，且x₁≠x₂，x₁≠0，x₂≠0．求證：方程x²+bx+c=0有一個(gè)根介于x₁和x₂之間．

Answer 1

【答案】分析：先由x₁與x₂分別是實(shí)系數(shù)方程ax²+bx+c=0和-ax²+bx+c=0的一個(gè)根，得到關(guān)于x₁與x₂的兩個(gè)等式，再設(shè)f（x）=x²+bx+c，利用條件推出f（x₁）f（x₂）＜0，即可說(shuō)明方程x²+bx+c=0有一個(gè)根介于x₁和x₂之間．
解答：證明：由于x₁與x₂分別是方程ax²+bx+c=0和-ax²+bx+c=0的根，
所以有
設(shè)f（x）=x²+bx+c，
則f（x₁）=x₁²+bx₁+c=-x₁²，
f（x₂）=x₂²+bx₂+c=x₂²，
∴f（x₁）f（x₂）=-a²x₁²x₂²
由于x₁≠x₂，x₁≠0，x₂≠0，
所以f（x₁）f（x₂）＜0，
因此方程x²+bx+c=0有一個(gè)根介于x₁和x₂之間．
點(diǎn)評(píng)：本題考查一元二次方程根的分布問(wèn)題．在解題過(guò)程中用到了零點(diǎn)存在性定理，若想說(shuō)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上有零點(diǎn)，只要區(qū)間兩端點(diǎn)值異號(hào)即可．