Question

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CA=CB=CC₁=2，∠ACB=90°，E、F分別是BA、BC的中點，G是AA₁上一點，且AC₁⊥EG．
（Ⅰ）確定點G的位置；
（Ⅱ）求直線AC₁與平面EFG所成角θ的大小．

Answer 1

分析：解法一：（Ⅰ）以C為原點，分別以CB、CA、CC₁為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，寫出有關(guān)點的坐標(biāo)，利用向量數(shù)量積為零即可求得結(jié)果；
（Ⅱ）求出平面EFG的法向量的一個法向量，利用直線的方向向量與法向量的夾角與直線與平面所成角之間的關(guān)系即可求得結(jié)果；
解法二：（Ⅰ）取AC的中點D，連接DE、DG，則ED∥BC，利用線面垂直的判定和性質(zhì)定理即可求得結(jié)果；（Ⅱ）取CC₁的中點M，連接GM、FM，則EF∥GM，找出直線與平面所成的角，解三角形即可求得結(jié)果．

解答：解法一：（Ⅰ）以C為原點，分別以CB、CA、CC₁為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則F（1，0，0），E（1，1，0），A（0，2，0），C₁（0，0，2），

AC1

=(0，-2，2)
設(shè)G（0，2，h），則

EG

=(-1，1，h)．∵AC₁⊥EG，∴

EG

•

AC1

=0．
∴-1×0+1×（-2）+2h=0．∴h=1，即G是AA₁的中點．
（Ⅱ）設(shè)

m

=(x，y，z)是平面EFG的法向量，則

m

⊥

FE

，

m

⊥

EG

．
所以

0×x+1×y+0×z=0 -x+y+z=0.

平面EFG的一個法向量m=（1，0，1）
∵sinθ=

| m • AC1 |

| m |•| AC1 |

=

2

2 ×2 2

=

1

2

，
∴θ=

π

6

，即AC₁與平面EFG所成角θ為

π

6

解法二：（Ⅰ）取AC的中點D，連接DE、DG，則ED∥BC
∵BC⊥AC，∴ED⊥AC．
又CC₁⊥平面ABC，而ED?平面ABC，∴CC₁⊥ED．
∵CC₁∩AC=C，∴ED⊥平面A₁ACC₁．
又∵AC₁⊥EG，∴AC₁⊥DG．
連接A₁C，∵AC₁⊥A₁C，∴A₁C∥DG．
∵D是AC的中點，∴G是AA1的中點．
（Ⅱ）取CC₁的中點M，連接GM、FM，則EF∥GM，
∴E、F、M、G共面．作C₁H⊥FM，交FM的延長線于H，∵AC⊥平面BB₁C₁C，
C₁H?平面BB₁C₁C，∴AC⊥G₁H，又AC∥GM，∴GM⊥C₁H．∵GM∩FM=M，
∴C₁H⊥平面EFG，設(shè)AC₁與MG相交于N點，所以∠C₁NH為直線AC₁與平面EFG所成角θ．
因為C1H=

2

2

，C1N=

2

，∴sinθ=

2

2 2

=

1

2

，∴θ=

π

6

．

點評：本小題主要考查直線與平面垂直的判定，以及直線與平面平行的判定和直線與平面所成的角，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力．屬中檔題．