Question

求證：兩兩相交而不通過同一點的四條直線必在同一平面內．

Answer 1

答案：
解析：

思路　　已知a、b、c、d四條直線不共點但是兩兩相交，求證a、b、c、d共面． 　　a、b、c、d四條直線或者有三條共點或無三條共點，分兩種情形證． 　　解答　　(1)若a、b、c三線共點P，但點P直線d．如圖∴直線d和其外一點P可以確定一個平面α 　　又a∩d＝C 　　∴點C∈a且點P∈a 　　∴直線a平面α 　　同理可證：直線b上有兩點B、P在平面α上， 　　∴b面α 　　∴c面α∴a、b、c、d四線共面． 　　(2)若a、b、c、d兩兩相交但不過同一點，如圖所示． 　　∵a∩b＝點Q∴a與b可以確定一個平面β 　　又∵c∩d＝E∴E∈a，a平面β∴E∈β 　　同理c∩面β＝F∴F∈b，b平面β∴F∈β 　　∴直線c上有兩點E、F在β上∴c平面β 　　同理可證d平面β 　　故a、b、c、d四條線共面β 　　得(1)、(2)可知：兩兩相交而不通過同一點的四條直線必在同一平面內．