Question

設曲線：上的點到點的距離的最小值為,若,,

（1）求數(shù)列的通項公式；

（2）求證:；

（3）是否存在常數(shù),使得對,都有不等式:成立?請說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1） （2）先證，累加即得證.（3）存在常數(shù),對,都有不等式:成立.（M取值不唯一）

【解析】

試題分析：（1）設點,則,∴,

∵, ∴ 當時,取得最小值,且,

又,∴,即， 將代入得

兩邊平方，得,又,，

∴數(shù)列是首項為,公差為的等差數(shù)列, ∴,

∵ ,∴

（2）∵,∴

∴,∴ ∴，

∴

將以上個不等式相加，得.

（Ⅲ）由（1）得,當時, ,

∵,

∴，

∴,

∴

∴.

∴存在常數(shù),對,都有不等式:成立.（M取值不唯一）

考點：數(shù)列與不等式的綜合；等差數(shù)列的通項公式；數(shù)列與函數(shù)的綜合．

點評：本題考查數(shù)列的通項，考查數(shù)列與不等式的綜合，考查放縮法的運用，解題的關鍵是根據(jù)目標，適當放縮，難度較大．