Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=lnx﹣ ．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）設(shè)g（x）=﹣x2+2bx﹣4，若對任意x1∈（0，2），x2∈[1，2]，不等式f（x1）≥g（x2） 恒成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）=lnx﹣ 的定義域是（0，+∞）．

f′（x）= = ，

由x＞0及f′（x）＞0得1＜x＜3；由x＞0及f′（x）＜0得0＜x＜1或x＞3，

故函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（1，3）；單調(diào)遞減區(qū)間是（0，1），（3，+∞）．

（2）解：由（1）知，f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，3）上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)x∈（0，2）時(shí)， ，

對任意x1∈（0，2），x2∈[1，2]，不等式f（x1）≥g（x2）恒成立，

問題等價(jià)于﹣ ≥g（x）對任意x∈[1，2]恒成立，即 恒成立．

不等式可變?yōu)閎 ，

因?yàn)閤∈[1，2]，所以 ，當(dāng)且僅當(dāng) ，即x= 時(shí)取等號．

所以b ，

故實(shí)數(shù)b的取值范圍是（ ]

【解析】（1）求f′（x），在函數(shù)定義域內(nèi)利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性關(guān)系解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0即可．（2）由題意不等式f（x1）≥g（x2）恒成立，可轉(zhuǎn)化為f（x）min≥g（x）max ， 或分離出參數(shù)后再求函數(shù)最值．
【考點(diǎn)精析】利用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性對題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減．