Question

若雙曲線x²-

y2

b2

=1（b＞0）的一條漸近線與圓x²+（y-2）²=1至多有一個交點，則雙曲線離心率的取值范圍是（　　）

• A、（1，2]
• B、[2，+∞）
• C、（1，

  3

  ]
• D、[

  3

  ，+∞）

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：雙曲線x²-

y2

b2

=1（b＞0）的一條漸近線與圓x²+（y-2）²=1至多有一個交點，?圓心（0，2）到漸近線的距離≥半徑r．解出即可．

解答： 解：圓x²+（y-2）²=1的圓心（0，2），半徑r=1．
∵雙曲線x²-

y2

b2

=1（b＞0）的一條漸近線與圓x²+（y-2）²=1至多有一個交點，
∴

2

b2+1

≥1，化為b²≤3．
∴e²=1+b²≤4，
∵e＞1，
∴1＜e≤2，
∴該雙曲線的離心率的取值范圍是（1，2]．
故選：A．

點評：熟練掌握雙曲線的漸近線方程、離心率的計算公式、圓的標準方程、直線與圓的位置關系、點到直線的距離公式是解題的關鍵．