Question

（1）已知直線x+y=a與圓x²+y²=4交于A，B兩點(diǎn)，且|

OA

+

OB

|=|

OA

-

OB

|其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求a的值；
（2）圓C的方程為（x-2）²+y²=4，圓M的方程為（x-2-5cosθ）²+（y-5sinθ）²=1，過圓M上任意一點(diǎn)P作圓C的兩條切線PE，PF，切點(diǎn)分別是E，F(xiàn)，求

PE

•

PF

的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線和圓的方程的應(yīng)用

專題：綜合題,直線與圓

分析：（1）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．聯(lián)立直線x+y=a與圓x²+y²=4，化為2x²-2ax+a²-4=0．△＞0．得到根與系數(shù)的關(guān)系，利用|

OA

+

OB

|=|

OA

-

OB

|，可得x₁x₂+y₁y₂=0，代入計(jì)算即可；
（2）由兩圓的圓心距|CM|=5大于兩圓的半徑之和可得兩圓相離，則

PE

•

PF

的最小值是

HE

•

HF

，利用
 兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義求出

HE

•

HF

的值，即為所求．

解答： 解：（1）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
聯(lián)立直線x+y=a與圓x²+y²=4，化為2x²-2ax+a²-4=0．
△=4a²-8（a²-4）=4（8-a²）＞0．（*）．
∴x₁+x₂=a，x₁x₂=

a2-4

2

．
∵|

OA

+

OB

|=|

OA

-

OB

|．
∴x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（a-x₁）（a-x₂）=0，
∴a²-4-a²+a²=0，
解得a=±2，滿足（*）．
（2）（x-2）²+y²=4的圓心C（2，0），半徑等于2，
圓M  （x-2-5cosθ）²+（y-5sinθ）²=1，
圓心M（2+5cosθ，5sinθ），半徑等于1．
∵|CM|=5＞2+1，故兩圓相離．
∵

PE

•

PF

=|

PE

|•|

PF

|•cos∠EPF，要使

PE

•

PF

最小，需|

PE

|、|

PF

|最小，且∠EPF 最大，
如圖所示，設(shè)直線CM 和圓M交于H、G兩點(diǎn)，則

PE

•

PF

的最小值是

HE

•

HF

．
|H C|=|CM|-1=5-1=4，|H E|=

|HC|2-|CE|2

=2

3

，
sin∠CHE=

|CE|

|CH|

=

1

2

，
∴cos∠EHF=cos2∠CHE=1-2sin²∠CHE=

1

2

，
∴

HE

•

HF

=|H E|•|H E|•cos∠EHF=2

3

×2

3

×

1

2

=6，

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓、兩圓的位置關(guān)系，兩圓的切線，兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義，二倍角的余弦公式，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，判斷

PE

•

PF

的最小值是

HE

•

HF

是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．