Question

如圖，PA⊥平面ABC，AB⊥BC．AD垂直于PB于D，AE垂直于PC于E．，AB=BC=1．
（1）求證：PC⊥平面ADE；
（2）求AB與平面ADE所成的角；

Answer 1

【答案】分析：（1）欲證PC⊥平面ADE，根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可知只需證PC與平面ADE內(nèi)兩相交直線垂直，而PC⊥AD，PC⊥AE，AE∩AD=A，滿足定理條件；
（2）在平面PBC上，過點B作BF平行于PC交ED延長線于點F，連接AF，根據(jù)線面所成角的定義知∠BAF為直線AB和平面ADE所成的角，在RT△BFA中求出此角即可．
解答：解：（1）證明：因為PA⊥平面ABC，
所以PA⊥BC，（2分）
又AB⊥BC，PA∩AB=A
所以BC⊥平面PAB，又AD?平面PAB，
則BC⊥AD，（4分）
又AD⊥PB，PB∩BC=B，
所以AD⊥平面PBC，（5分）
得PC⊥AD（6分）
又PC⊥AE，AE∩AD=A，所以PC⊥平面ADE（7分）

（2）在平面PBC上，過點B作BF平行于PC交ED延長線于點F，
連接AF，因為PC⊥平面ADE，所以BF⊥平面ADE，
所以∠BAF為直線AB和平面ADE所成的角（10分）
在三角形PBC中，，則，
由△PED與△BFD相似可得（12分）
在RT△BFA中，，（13分）
所以直線AB與平面ADE所成的角為30°．（14分）
點評：本題主要考查了直線與平面垂直的判定，以及直線與平面所成的角，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，屬于基礎(chǔ)題．