Question

（2010•天津模擬）如圖，PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形，PA=AB=1，PD與平面ABCD所成的角是30°，點
F是PB的中點，點E在邊BC上移動，
（Ⅰ）當點E為BC的中點時，試判斷EF與平面PAC的位置關(guān)系，并說明理由；
（Ⅱ）證明：無論點E在邊BC的何處，都有PE⊥AF；
（Ⅲ）當BE等于何值時，二面角P-DE-A的大小為45°？

Answer 1

分析：（I）當點E為BC的中點時，由三角形中位線定理可得EF∥PC，進而由線面平行的判定定理可得EF∥平面PAC．
（II）由題意可得此題是證明線面垂直的問題，即證明直線AF垂直于平面PBE，而當點E在BC上無論怎樣運動時直線PE都在此平面內(nèi)，因此只需證明已知直線垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線即可．
（III）過A作AG⊥DG于G，連PG，根據(jù)二面角的定義可得∠PAG是二面角P-DE-A的平面角，因為∠PGA=45°且PD與平面ABCD所成角是30°，所以∠PDA=30°，進而可得一些有關(guān)相等的長度，設(shè)BE=x，則GE=x，CE=3-x，利用△DCE是直角三角形．

解答：解法一：
（Ⅰ）解：當點E為BC的中點時，EF與平面PAC平行
∵在△PBC中，E、F分別為BC、PB的中點…（1分）
∴EF∥PC
又EF?平面PAC，PC?平面PAC…（2分）
∴EF∥平面PAC…（3分）
（Ⅱ）證明：∵PA⊥平面ABCD，BE?平面ABCD
∴BE⊥PA
∵ABCD是矩形
∴BE⊥AB…（4分）
又AB∩AP=A，AP、AB?平面ABCD
∴BE⊥平面ABCD
又AF?平面PAB
∴AF⊥BE       …（5分）
又PA=AB=1，且點F是PB的中點
∴PB⊥AF
又∵PB∩BE=B，PB、BE?平面PBE
∴AF⊥平面PBE          …（6分）
∵PE?平面PBE
∴AF⊥PE
故無論點E在邊BC的何處，都有PE⊥AF …（7分）
（Ⅲ）解：當BE=

3

-

2

時，二面角P-DE-A的大小為45°…（8分）
過A作AG⊥DE于G，連接PG
又∵DE⊥PA
∴DE⊥平面PAG∴DE⊥PG
則∠PGA是二面角P-DE-A的平面角∴∠PGA=45° …（10分）
∵PA⊥平面ABCD
∴∠PDA就是PD與平面ABCD所成的角，即∠PDA=30°…（11分）
又PA=AB=1，∴AD=

3

∴AG=1，DG=

2

…（12分）
設(shè)BE=x，則GE=x，CE=

3

-x
在Rt△DCE中，(

2

+x)2=(

3

-x)2+1
解得：x=

3

-

2

或x=

3

+

2

（舍去）         …（13分）
故當BE=

3

-

2

時，二面角P-DE-A的大小為45°…（14分）

點評：解決此類問題的關(guān)鍵是熟悉幾何體的結(jié)構(gòu)特征，得到有關(guān)線面垂直、線線垂直的結(jié)論，以及利用這些垂直關(guān)系解決二面角問題．