Question

已知函數(shù)f（x）=x³-x-

x

．
（I）求函數(shù)y=f（x）的零點的個數(shù)；
（Ⅱ）令g（x）=

ax2+ax

f(x)+ x

+lnx，若函數(shù)y=g（x）在（0，

1

e

）內(nèi)有極值，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，對任意t∈（1，+∞），s∈（0，1），求證：g（t）-g（s）＞e+2-

1

e

．

Answer 1

考點：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）易知x=0是y=f（x）的零點，從而x＞0時，f（x）=x（x²-1-

1

x

），設(shè)φ（x）=x2-1-

1

x

，利用導(dǎo)數(shù)及零點判定定理可求函數(shù)零點個數(shù)；
（Ⅱ）化簡得g（x）=lnx+

a

x-1

，其定義域是（0，1）∪（1，+∞），求導(dǎo)得g'（x）=

x2-(2+a)x+1

x(x-1)2

，令h（x）=x²-（2+a）x+1，則問題轉(zhuǎn)化為h（x）=0有兩個不同的根x₁，x₂，從而△=（2+a）²-4＞0，且一根在（0，

1

e

）內(nèi)，不妨設(shè)0＜x₁＜

1

e

，再由x₁x₂=1，得0＜x₁＜

1

e

＜e＜x₂，根據(jù)零點判定定理可知只需h（

1

e

）＜0，由此可求a的范圍；
（Ⅲ）由（Ⅱ）可求y=g（x）在（1，+∞）內(nèi)的最小值為g（x₂），y=g（x）在（0，1）內(nèi)的最大值為g（x₁），由（Ⅱ）同時可知x₁+x₂=2+a，x₁x₂=1，x1∈(0，

1

e

)，x₂∈（e，+∞），故g（t）-g（s）≥g（x₂）-g（x₁）=lnx₂+

a

x2-1

-lnx1-

a

x1-1

=ln

x2

x1

+

a

x2-1

-

a

x1-1

=lnx22+x2-

1

x2

（x₂＞e），令k（x）=lnx²+x-

1

x

=2lnx+x-

1

x

，利用導(dǎo)數(shù)可判斷k（x）在（e，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，從而有k（x）＞k（e），整理可得結(jié)論；

解答： 解：（Ⅰ）∵f（0）=0，∴x=0是y=f（x）的一個零點，
當(dāng)x＞0時，f（x）=x（x²-1-

1

x

），設(shè)φ（x）=x2-1-

1

x

，
φ'（x）=2x+

1

2 x3

＞0，∴φ（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．
又φ（1）=-1＜0，φ（2）=3-

1

2

＞0，
故φ（x）在（1，2）內(nèi)有唯一零點，
因此y=f（x）在（0，+∞）內(nèi)有且僅有2個零點；
（Ⅱ）g（x）=

ax2+ax

x3-x

+lnx=

ax(x+1)

x(x+1)(x-1)

+lnx=lnx+

a

x-1

，
其定義域是（0，1）∪（1，+∞），
則g'（x）=

1

x

-

a

(x-1)2

=

x2-2x+1-ax

x(x-1)2

=

x2-(2+a)x+1

x(x-1)2

，
設(shè)h（x）=x²-（2+a）x+1，要使函數(shù)y=g（x）在（0，

1

e

）內(nèi)有極值，則h（x）=0有兩個不同的根x₁，x₂，
∴△=（2+a）²-4＞0，得a＞0或a＜-4，且一根在（0，

1

e

）內(nèi)，不妨設(shè)0＜x₁＜

1

e

，
又x₁x₂=1，∴0＜x₁＜

1

e

＜e＜x₂，
由于h（0）=1，則只需h（

1

e

）＜0，即

1

e2

-(a+2)•

1

e

+1＜0，
解得a＞e+

1

e

-2；
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，當(dāng)x∈（1，x₂）時，g'（x）＜0，g（x）遞減，x∈（x₂，+∞）時，g'（x）＞0，g（x）遞增，
故y=g（x）在（1，+∞）內(nèi)的最小值為g（x₂），即t∈（1，+∞）時，g（t）≥g（x₂），
又當(dāng)x∈（0，x₁）時，g'（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增，x∈（x₁，1）時，g'（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減，
故y=g（x）在（0，1）內(nèi)的最大值為g（x₁），即對任意s∈（0，1），g（s）≤g（x₁），
由（Ⅱ）可知x₁+x₂=2+a，x₁x₂=1，x1∈(0，

1

e

)，x₂∈（e，+∞），
因此，g（t）-g（s）≥g（x₂）-g（x₁）=lnx₂+

a

x2-1

-lnx1-

a

x1-1

=ln

x2

x1

+

a

x2-1

-

a

x1-1

=lnx22+x2-

1

x2

（x₂＞e），
設(shè)k（x）=lnx²+x-

1

x

=2lnx+x-

1

x

，k'（x）=

2

x

+1+

1

x2

＞0，
∴k（x）在（e，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，
故k（x）＞k（e）=2+e-

1

e

，即g（t）-g（s）＞e+2-

1

e

．

點評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點、極值、最值，考查轉(zhuǎn)化思想，考查學(xué)生綜合運用數(shù)學(xué)知識分析解決問題的能力，綜合性強，能力要求比較高．