Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，ABCD為平行四邊形，BC⊥平面PAB，AB=BC=

1

2

PB，∠APB=30°，M為PB的中點(diǎn)．
（1）求證：PD∥平面AMC；
（2）求銳二面角B-AC-M的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,直線與平面平行的判定

專題：空間角

分析：（1）連接BD，設(shè)BD與AC相交于點(diǎn)O，連接OM，由已知條件知OM為△PBD的中位線，由此能證明PD∥平面ANC．
?（2）設(shè)AB=BC=2，由已知條件推導(dǎo)出

2

sin30°

=

4

sin∠PAB

，從而得到PA⊥AB，且PA=2

3

，取AB的中點(diǎn)F，連接MF，作FG⊥AC，垂足為G，連接MG，由已知條件推導(dǎo)出∠MGF為二面角B-AC-M的平面角，由此能求出二面角B-AC-M的余弦值．

解答： （本小題滿分14分）
解：（1）證明：連接BD，設(shè)BD與AC相交于點(diǎn)O，連接OM，
∵?四邊形ABCD是平行四邊形，∴點(diǎn)O為BD的中點(diǎn)．…（2分）
∵M(jìn)為PB的中點(diǎn)，∴OM為△PBD的中位線，
∴OM∥PD．?????????…（4分）
∵OM?平面AMC，PD不包含于平面AMC，
∴PD∥平面ANC．…（6分）
?（2）不妨設(shè)AB=BC=2，則PB=4．
在△PAB中，

2

sin30°

=

4

sin∠PAB

，
得sin∠PAB=1，∴∠PAB=90°，
即PA⊥AB，且PA=2

3

．…（8分）
∵BC⊥平面PAB，PA?平面PAB，
∴PA⊥BC，
∵BC∩AB=B，∴PA⊥平面ABCD．
取AB的中點(diǎn)F，連接MF，則MF∥PA，
且MF=

1

2

PA=

3

．…（10分）???
∴MF⊥平面ABCD．AC?平面ABCD，∴MF⊥AC．
作FG⊥AC，垂足為G，連接MG，MF∩FG=F，
∴AC⊥平面MGF，∴AC⊥MG．
∴∠MGF為二面角B-AC-M的平面角．?…（12分）
在Rt△AFG中，∠BAC=45°，得GF=

2

2

．
在Rt△MGF中，cos∠MGF=

GF

MG

=

2 2

3+ 1 2

=

7

7

．
∴二面角B-AC-M的余弦值為

7

7

．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面平行的證明，考查二面角和余弦值的求法，解題時(shí)要注意正弦定理的合理運(yùn)用．