Question

已知圓C：x²+（y-2）²=25，直線L：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0（m∈R）
（1）證明：無論m取什么實(shí)數(shù)，L與圓C恒交于兩點(diǎn)．
（2）已知直線L與圓D：（x+1）²+（y-5）²=R²（R＞0）相切，且使R最大，求m的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)直線方程得到直線過定點(diǎn)，證明定點(diǎn)在圓內(nèi)部，即可證明：無論m取什么實(shí)數(shù)，L與圓C恒交于兩點(diǎn)．
（2）根據(jù)直線與圓相切建立等式關(guān)系，根據(jù)條件確定當(dāng)R最大時，對應(yīng)的m的取值即可．

解答：解：（1）證明：∵（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0（m∈R）
∴m（2x+y-7）+x+y-4=0，則直線L必過兩直線2x+y-7=0與x+y-4=0的交點(diǎn)，
由

2x+y-7=0 x+y-4=0

 得

x=3 y=1

，
∴兩直線2x+y-7=0與x+y-4=0的交點(diǎn)坐標(biāo)為（3，1）．
又∵3²+（1-2）²＜25，
∴點(diǎn)（3，1）在圓C內(nèi)部，
∴過點(diǎn)（3，1）的直線L必與圓C恒交于兩點(diǎn)．
（2）∵圓心（-1，5）到直線L的距離最大時，直線L與圓D：（x+1）²+（y-5）²=R²（R＞0）相切，且R最大．
又直線L過定點(diǎn)（3，1），
∴當(dāng)定點(diǎn)（3，1）為切點(diǎn)時，R最大．          
此時L與過點(diǎn)（3，1）（-1，5）的直線垂直，
L的斜率k=-

2m+1

m+1

=-

1

5-4 -1-3

=1，
∴m=-

2

3

．

點(diǎn)評：本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，以及直線過定點(diǎn)問題，考查學(xué)生的運(yùn)算能力．