Question

已知圓C：x²+（y-3）²=4，一動(dòng)直線l過A （-1，O）與圓C相交于P、Q兩點(diǎn)，M是PQ中點(diǎn)，l與直線x+3y+6=0相交于N，則|AM|•|AN|=

 

．

Answer 1

分析：設(shè)連接CA并延長交直線x+3y+6=0相交于G，可得CG⊥NG，由垂徑定理得CM⊥PQ，可得△AGN∽△AMC，將比例線段轉(zhuǎn)化為等積式，得|AM|•|AN|=|AC|•|AG|=5

解答：解：設(shè)連接CA并延長交直線x+3y+6=0相交于G，連接CM
可得AC的斜率為kAC=

3-0

0+1

=3
∵直線x+3y+6=0的斜率為K1=-

1

3

，kAC•k1=3 ×(-

1

3

) =-1
∴直線AC與直線x+3y+6=0垂直
又∵圓C中，M為弦PQ的中點(diǎn)
∴CM⊥PQ
因此△AGN∽△AMC，可得

|AC|

|AN|

=

|AM|

|AG|

∴|AM|•|AN|=|AC|•|AG|
又∵|AC|=

(-1-0)2+(3-0)2

=

10

|AG|=

|-1+3×0+6|

10

=

10

2

∴|AC|•|AG|=

10

•

10

2

=5
故答案為5

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與圓相交的性質(zhì)，屬于中檔題，利用垂徑定理得到三角形相似是解決本題的關(guān)鍵．