【題目】在如圖所示的幾何體中,四邊形ABCD為正方形, 為直角三角形, ,且.
(1)證明:平面平面;
(2)若AB=2AE,求異面直線BE與AC所成角的余弦值.
【答案】(1)詳見(jiàn)解析;(2).
【解析】試題分析:(1)由已知可知AE⊥AB,又AE⊥AD,所以AE⊥平面ABCD,所以AE⊥DB,又ABCD為正方形,所以DB⊥AC,所以DB⊥平面AEC,而BD平面BED,故有平面AEC⊥平面BED.
(2)作DE的中點(diǎn)F,連接OF,AF,由于O是DB的中點(diǎn),且OF∥BE,可知∠FOA或其補(bǔ)角是異面直線BE與AC所成的角;設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2,則,由于,AB=2AE,
可知, ,則,又,∴= ,由余弦定理的推理∴∠FOA==,故異面直線BE與AC所成的角的余弦值為.
試題解析:(1)由已知有AE⊥AB,又AE⊥AD,
所以AE⊥平面ABCD,所以AE⊥DB, 3分
又ABCD為正方形,所以DB⊥AC, 4分
所以DB⊥平面AEC,BD面BED
故有平面AEC⊥平面BED. 6分
(2)作DE的中點(diǎn)F,連接OF,AF,
∵O是DB的中點(diǎn),
∴OF∥BE,∴∠FOA或其補(bǔ)角是異面直線BE與AC所成的角。 8分
設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2,
則
∵,AB=2AE,
∴, ,∴10分
又,∴= ,∴∠FOA==
∴異面直線BE與AC所成的角的余弦值為12分.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(1) 若函數(shù)f(x)=|4x-x2|+a有4個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2) 已知函數(shù)f(x)=x2+2mx+3m+4.
① 若函數(shù)f(x)有且僅有一個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)m的值;
若函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)且兩個(gè)零點(diǎn)均比-1大,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某校90名專職教師的年齡狀況如下表:
年齡 | 35歲以下 | 35~50歲 | 50歲以上 |
人數(shù) | 45 | 30 | 15 |
現(xiàn)擬采用分層抽樣的方法從這90名專職教師中抽取6名老、中、青教師下鄉(xiāng)支教一年.
(Ⅰ)求從表中三個(gè)年齡段中分別抽取的人數(shù);
(Ⅱ)若從抽取的6個(gè)教師中再隨機(jī)抽取2名到相對(duì)更加邊遠(yuǎn)的鄉(xiāng)村支教,計(jì)算這兩名教師至少有一個(gè)年齡是35~50歲教師的概率。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若,且在上單調(diào)遞增,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(2)是否存在實(shí)數(shù),使得函數(shù)在上的最小值為1?若存在,求出實(shí)數(shù)的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
已知曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以直角坐標(biāo)系原點(diǎn)為極點(diǎn),以軸正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系.
(1)求曲線的極坐標(biāo)方程,并說(shuō)明其表示什么軌跡;
(2)若直線的極坐標(biāo)方程為,求直線被曲線截得的弦長(zhǎng).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知,橢圓的離心率為, 是橢圓的右焦點(diǎn), 的斜率為, 為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與交于, 兩點(diǎn),當(dāng)面積最大時(shí),求的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某日用品按行業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)分成五個(gè)等級(jí),等級(jí)系數(shù)X依次為1,2,3,4,5.現(xiàn)從一批該日用品中隨機(jī)抽取20件,對(duì)其等級(jí)系數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析,得到頻率分布表如下:
X | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
頻率 | a | 0.2 | 0.45 | b | c |
(1)若所抽取的20件日用品中,等級(jí)系數(shù)為4的恰有3件,等級(jí)系數(shù)為5的恰有2件,求a,b,c的值;
(2)在(1)的條件下,將等級(jí)系數(shù)為4的3件日用品記為,等級(jí)系數(shù)為5的2件日用品記為,現(xiàn)從, 這5件日用品中任取兩件(假定每件日用品被取出的可能性相同),求這兩件日用品的等級(jí)系數(shù)恰好相等的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=sin(2x+φ)(-π<φ<0),y=f(x)圖象的一條對(duì)稱軸是直線
(1)求φ;
(2)求函數(shù)y=f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(3)求函數(shù)y=f(x)在區(qū)間上的值域。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)等差數(shù)列是無(wú)窮數(shù)列,且各項(xiàng)均為互不相同的正整數(shù),其前項(xiàng)和為,數(shù)列滿足.
(1)若,求的值;
(2)若數(shù)列為等差數(shù)列,求;
(3)在(1)的條件下,求證:數(shù)列中存在無(wú)窮多項(xiàng)(按原來(lái)的順序)成等比數(shù)列.
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