Question

設函數(shù)f（x）=|x-1|+|x-a|，x∈R．
（Ⅰ）當a=4時，求不等式f（x）≥6的解集；
（Ⅱ）若f（x）≥2a對x∈R恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：絕對值不等式的解法,函數(shù)恒成立問題

專題：計算題,分類討論,不等式的解法及應用

分析：（Ⅰ）不等式即|x-1|+|x-4|≥6，通過去絕對值符號，列出不等式組，分別求出每個不等式組的解集，再取并集即得所求．
（Ⅱ）利用f（x）=|x-1|+|x-a|≥|a-1|，由題意可得|a-1|≥2a，由此此解得a的范圍．

解答： 解：（Ⅰ）當a=4時，不等式f（x）≥6，即|x-1|+|x-4|≥6，等價于

x＜1 -2x+5≥6

，或

1≤x≤4 3≥6

，或 

x＞4 2x-5≥6

．
解得：x≤-

1

2

或 x≥

11

2

．
故不等式f（x）≥6的解集為 {x|x≤-

1

2

，或 x≥

11

2

}． …（5分）
（Ⅱ）∵f（x）=|x-1|+|x-a|≥|（x-1）-（x-a）|=|a-1|．（當x=1時等號成立）
所以：f（x）_min=|a-1|．…（8分）
由題意得：|a-1|≥2a，⇒

a＞0 (a-1)2≥4a2

或a≤0，
⇒0＜a≤

1

3

，或a≤0，
解得a的取值范圍：a≤

1

3

 …（10分）

點評：本題主要考查絕對值不等式的解法，函數(shù)的恒成立問題，考查分類討論思想，屬于中檔題．