Question

已知命題p：“直線y=x+

2

與橢圓x2+

y2

a

=1(a＞0且a≠1)有公共點”，命題q：“有且只有一個實數(shù)x滿足不等式x²+2ax+2a≤0”． 若命題“p或q”是假命題，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：復合命題的真假

專題：簡易邏輯

分析：本題的關鍵是給出命題p：“直線y=x+

2

與橢圓x2+

y2

a

=1(a＞0且a≠1)有公共點”，命題q：“有且只有一個實數(shù)x滿足不等式x²+2ax+2a≤0”，為真時a的取值范圍，在根據p假，q假給出a的取值范圍．

解答： 解：∵命題p：“直線y=x+

2

與橢圓x2+

y2

a

=1(a＞0且a≠1)有公共點”，
∴

y=x+ 2 x2+ y2 a =1

得，(a+1)x2+2

2

x+2-a=0(a≠0)
∴由△=(2

2

)2-4(a+1)(2-a)≥0，得
a≥1且a≠1
綜上，a＞1
又∵命題q：有且只有一個實數(shù)x滿足不等式x²+2ax+2a≤0”． 
∴△=（2a）²-4×2a=0，得
a=0或2
∵命題“p或q”是假命題
∴p假q假
∴

a≤1 a≠0且a≠2

∴求實數(shù)a的取值范圍：a≤1且a≠0

點評：題考查的知識點是復合命題的真假判定，解決的辦法是先判斷組成復合命題的簡單命題的真假，再根據真值表進行判斷．