Question

等差數列{a_n}的公差d大于0，且a₃，a₅是方程x²-14x+45=0的兩根，數列{b_n}的前n項和為S_n，S_n=

1-bn

2

（n∈N₊），記c_n=a_n•b_n．
（1）求數列{a_n}，{b_n}的通項公式．
（2）求證：c_n+1≤c_n．
（3）求數列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數列的求和,等差數列的通項公式,等比數列的通項公式

專題：等差數列與等比數列,不等式的解法及應用

分析：（1）由a₃，a₅是方程x²-14x+45=0的兩根求得a₃=5，a₅=9，然后求出等差數列的公差，代入等差數列的通項公式得答案．再由S_n=

1-bn

2

取n=1求得b₁，當n≥2時，由b_n=S_n-S_n-1推得數列是等比數列，代入等比數列的通項公式得答案；
（2）把數列{a_n}，{b_n}的通項公式代入c_n=a_n•b_n，利用作差法證明c_n+1≤c_n；
（3）直接利用錯位相減法求數列{c_n}的前n項和T_n．

解答： （1）解：∵a₃，a₅是方程x²-14x+45=0的兩根，且數列{a_n}的公差d＞0，
∴a₃=5，a₅=9，公差d=

a5-a3

5-3

=2，
∴a_n=a₅+（n-5）d=2n-1．
又當n=1時，有b₁=S₁=

1-b1

2

，
∴b₁=

1

3

．
當n≥2時，有b_n=S_n-S_n-1=

1

2

（b_n-1-b_n），
∴

bn

bn-1

=

1

3

（n≥2），
∴數列{b_n}是首項為

1

3

，公比為

1

3

的等比數列，
∴b_n=

1

3

×(

1

3

)n-1=

1

3n

；
（2）證明：由（1）知c_n=a_n•b_n=

2n-1

3n

，c_n+1=

2n+1

3n+1

，
∴c_n+1-c_n=

2n+1

3n+1

-

2n-1

3n

=

4(1-n)

3n+1

≤0，
∴c_n+1≤c_n；
（3）解：∵c_n=a_n•b_n=

2n-1

3n

，
則T_n=

1

31

+

3

32

+

5

33

+…+

2n-1

3n

，①

1

3

Tn=

1

32

+

3

33

+

5

34

+…+

2n-3

3n

+

2n-1

3n+1

，②
①-②得：

2

3

Tn=

1

3

+

2

32

+

2

33

+…+

2

3n

-

2n-1

3n+1

=

1

3

+2(

1

32

+

1

33

+…+

1

3n

)-

2n-1

3n+1

=

1

3

+2×

1 9 (1- 1 3n-1 )

1- 1 3

-

2n-1

3n+1

．
∴Tn=1-

n+1

3n

．

點評：本題考查了等差數列和等比數列的通項公式，考查了作差法證明數列不等式，訓練了錯位相減法求數列的和，是中檔題．