Question

如圖，在等腰直角三角形ABC中，AC=BC=1，點(diǎn)M，N分別是AB，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是△ABC（包括邊界）內(nèi)任一點(diǎn)．則

AN

•

MP

的取值范圍為

 

．

Answer 1

分析：選擇合適的原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，分別給出動(dòng)點(diǎn)（含參數(shù)）和定點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合向量?jī)?nèi)積計(jì)算公式進(jìn)行求解．

解答：解：以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA邊所在直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系，
則A（1，0），B（0，1），
設(shè)P（x，y），
則

x≥0 y≥0 x+y-1≤0

且

AN

=（-1，

1

2

），

MP

=（x-

1

2

，y-

1

2

）

AN

•

MP

=-x+

1

2

y+

1

4

，
令t=-x+

1

2

y+

1

4

，結(jié)合線性規(guī)劃知識(shí)，
則y=2x+2t-

1

2

當(dāng)直線t=-x+

1

2

y+

1

4

經(jīng)過點(diǎn)A（1，0）時(shí)，

AN

•

MP

有最小值，
將（1，0）代入得t=-

3

4

，
當(dāng)直線t=-x+

1

2

y+

1

4

經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)，

AN

•

MP

有最大值，
將（0，1）代入得t=

3

4

，
故答案為[-

3

4

，

3

4

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是平面向量的數(shù)量積運(yùn)算及線性規(guī)劃，處理的關(guān)鍵是建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求出各點(diǎn)、向量的坐標(biāo)，利用平面向量的數(shù)量積公式，將其轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題，再利用“角點(diǎn)法”解決問題．