Question

11．如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥側(cè)面BB₁C₁C，已知BB₁=2，BC=1，∠BCC₁=$\frac{π}{3}$，且異面直線A₁C于B₁C₁所成角的大小為arccos$\frac{\sqrt{10}}{5}$，求：
（1）AB的長(zhǎng)；
（2）三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側(cè)面積和體積．

Answer 1

分析 （1）△B₁BC中，利用余弦定理求得A₁C，設(shè)AB=x，解直角三角形求得A₁B，在△A₁BC中，利用余弦定理求得x的值；
（2）過(guò)B作CC₁的垂線BE，連接AE，則AE⊥CC₁，通過(guò)解直角三角形求得BE、AE的值，則三棱柱的側(cè)面積可求，由三角形ABE的面積乘以BB₁的長(zhǎng)度得三棱柱的體積．

解答 解：（1）如圖，
∵AB⊥側(cè)面BB₁C₁C，∴AB⊥BC，AB⊥BB₁，
∵∠BCC₁=$\frac{π}{3}$，∴∠$CB{B}_{1}=\frac{2π}{3}$，
在△B₁BC中，由BB₁=2，BC=1，∠CBB₁=$\frac{2π}{3}$，得
${B}_{1}{C}^{2}=B{C}^{2}+{B}_{1}{B}^{2}-2•BC•{B}_{1}B•cos∠CB{B}_{1}$=${1}^{2}+{2}^{2}-2×1×2cos\frac{2π}{3}=7$．
設(shè)AB=x，則${A}_{1}{C}^{2}={B}_{1}{C}^{2}+{A}_{1}{{B}_{1}}^{2}=7+{x}^{2}$，
${A}_{1}{B}^{2}={B}_{1}{B}^{2}+{A}_{1}{{B}_{1}}^{2}=4+{x}^{2}$，
在△A₁BC中，有${A}_{1}{B}^{2}={A}_{1}{C}^{2}+B{C}^{2}-2•{A}_{1}B•BC•cos（arccos\frac{\sqrt{10}}{5}）$，
∴$4+{x}^{2}=7+{x}^{2}+1-2\sqrt{7+{x}^{2}}×\frac{\sqrt{10}}{5}$，解得：x=$\sqrt{3}$．
∴AB的長(zhǎng)為$\sqrt{3}$；
（2）過(guò)B作CC₁的垂線BE，連接AE，則AE⊥CC₁，
在Rt△BEC中，由BC=1，$∠BCE=\frac{π}{3}$，得BE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴$AE=\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}=\frac{\sqrt{15}}{2}$．
∴三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側(cè)面積為$2×\sqrt{3}+2×\frac{\sqrt{3}}{2}+2×\frac{\sqrt{15}}{2}=3\sqrt{3}+\sqrt{15}$；
體積為V=$\frac{1}{2}×\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}×2=\frac{3}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本小題主要考查空間線面關(guān)系、異面直線所成角、幾何體的體積等知識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力，是中檔題．