【題目】已知.

（1）若，求在處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積；

（2）若在上的最大值為，求的值.

【答案】（1）（2）

【解析】

（1），求導，再求得，得到切線方程為.再分別令，，得到在坐標軸上的截距，再代入三角形面積求解.

（2）.時，，故在上單調遞增，易得在上的最大值，當時，令，得.再分， ，三種情況討論求解.

（1）若，則，.所以，.

則切線方程為.令，得，令，得，則切線與兩坐標軸圍成的三角形面積為.

（2）.

（ⅰ）當時，，故在上單調遞增，

所以在上的最大值為.所以.

（ⅱ）當時，令，得.

①當，即時，在上單調遞增，

所以在上的最大值為，所以，舍去.

②當，即時，在上單調遞減，

所以在上的最大值為，所以，不滿足，舍去.

③當，即時，在上單調遞減，在上單調遞增.

由上面分析可知，當時，不可能是最大值.

而，，由，可得，

此時，，的最大值為.

所以，不符合，舍去.

綜上可知，.

練習冊系列答案
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【題目】已知拋物線的焦點為F，過F作直線交拋物線C于A，B兩點，過A，B分別作拋物線C的切線，兩條切線交于點P.

（1）若P的坐標為，求直線的斜率；

（2）若P始終不在橢圓的內部（不包括邊界），求外接圓面積的最小值.

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【題目】某省從2021年開始將全面推行新高考制度，新高考“”中的“2”要求考生從政治、化學、生物、地理四門中選兩科，按照等級賦分計入高考成績，等級賦分規(guī)則如下：從2021年夏季高考開始，高考政治、化學、生物、地理四門等級考試科目的考生原始成績從高到低劃分為五個等級，確定各等級人數(shù)所占比例分別為，，，，，等級考試科目成績計入考生總成績時，將至等級內的考生原始成績，依照等比例轉換法分別轉換到、、、、五個分數(shù)區(qū)間，得到考生的等級分，等級轉換分滿分為100分.具體轉換分數(shù)區(qū)間如下表：

等級

比例

賦分區(qū)間

而等比例轉換法是通過公式計算：

其中，分別表示原始分區(qū)間的最低分和最高分，、分別表示等級分區(qū)間的最低分和最高分，表示原始分，表示轉換分，當原始分為，時，等級分分別為、

假設小南的化學考試成績信息如下表：

考生科目

考試成績

成績等級

原始分區(qū)間

等級分區(qū)間

化學

75分

等級

設小南轉換后的等級成績?yōu)?/span>，根據(jù)公式得：，

所以（四舍五入取整），小南最終化學成績?yōu)?7分.

已知某年級學生有100人選了化學，以半期考試成績?yōu)樵汲煽冝D換本年級的化學等級成績，其中化學成績獲得等級的學生原始成績統(tǒng)計如下表：

成績

95

93

91

90

88

87

85

人數(shù)

1

2

3

2

3

2

2

（1）從化學成績獲得等級的學生中任取2名，求恰好有1名同學的等級成績不小于96分的概率；

（2）從化學成績獲得等級的學生中任取5名，設5名學生中等級成績不小于96分人數(shù)為，求的分布列和期望.

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【題目】已知四棱錐的底面ABCD是邊長為2的正方形，且.若四棱錐P-ABCD的五個頂點在以4為半徑的同一球面上，當PA最長時，則______________；四棱錐P-ABCD的體積為______________.

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【題目】在平面直角坐標系中，已知橢圓過點，離心率為.分別是橢圓的上、下頂點，是橢圓上異于的一點.

（1）求橢圓的方程；

（2）若點在直線上，且，求的面積；

（3）過點作斜率為的直線分別交橢圓于另一點，交軸于點，且點在線段上（不包括端點），直線與直線交于點，求的值.

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【題目】下圖是某機械零件的幾何結構，該幾何體是由兩個相同的直四棱柱組合而成的，且前后，左右、上下均對稱，每個四棱柱的底面都是邊長為2的正方形，高為4，且兩個四棱柱的側棱互相垂直.則這個幾何體的體積為________.

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【題目】在平面直角坐標系中，橢圓的離心率為,直線被橢圓截得的線段長為.

（1）求橢圓的方程；

（2）過原點的直線與橢圓交于兩點（不是橢圓的頂點），點在橢圓上，且，直線與軸軸分別交于兩點.

①設直線斜率分別為，證明存在常數(shù)使得，并求出的值；

②求面積的最大值.

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【題目】已知函數(shù)，.

（1）求直線與曲線相切時，切點的坐標；

（2）當時，恒成立，求的取值范圍.

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