Question

已知f（x）=sinx，若將f（x）的圖象先沿x軸向左平移

π

6

個單位，再將所得圖象上所有點橫坐標不變，縱坐標伸長為原來的4倍，最后將所得圖象上所有點橫坐標縮短為原來的一半，縱坐標不變，得到函數(shù)g（x）的圖象．
（1）求函數(shù)g（x）的解析式；
（2）求函數(shù)g（x）的單調區(qū)間；
（3）設函數(shù)h（x）=g（x）-k（∈[-

π

2

，

π

2

]）的零點個數(shù)為m，試求m關于k的函數(shù)解析式．

Answer 1

考點：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換,正弦函數(shù)的圖象

專題：數(shù)形結合,三角函數(shù)的圖像與性質

分析：（1）首先對函數(shù)的圖象進行平移變換，進一步對函數(shù)圖象進行伸縮變換，最后求出結果．
（2）由-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ，可解得函數(shù)的單調增區(qū)間，由

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

3π

2

+2kπ，解得函數(shù)的單調減區(qū)間．
（3）由題意可得函數(shù)y=f（x）的圖象和直線y=k在區(qū)間[-

π

2

，

π

2

]上的零點的個數(shù)為m，結合函數(shù)f（x）的圖象可得結論．

解答： 解：（1）把函數(shù)y=sinx（x∈R）的圖象上所有點向左平行移動

π

6

個單位長度，所得圖象的解析式是y=sin（x+

π

6

），
再將所得圖象上所有點橫坐標不變，縱坐標伸長為原來的4倍，所得圖象的解析式是y=4sin（x+

π

6

），
最后將所得圖象上所有點橫坐標縮短為原來的一半，縱坐標不變，所得圖象的解析式是 g（x）=4sin（2x+

π

6

），
故函數(shù)g（x）的解析式為：g（x）=4sin（2x+

π

6

）．
（2）由-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ，可解得：-

π

3

+kπ≤x≤

π

6

+kπ，k∈Z
∴函數(shù)y=4sin（2x+

π

6

）的單調增區(qū)間為[-

π

3

+kπ，

π

6

+kπ]，k∈Z．
由

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

3π

2

+2kπ，得

π

6

+kπ≤x≤

2π

3

+kπ，k∈Z．
∴函數(shù)y=3sin（2x+

π

6

）+1的單調減區(qū)間為[

π

6

+kπ，

2π

3

+kπ]，k∈Z．
（3）∵函數(shù)h（x）=g（x）-k（k∈[-

π

2

，

π

2

]）的零點的個數(shù)為m，
即函數(shù)y=g（x）的圖象和直線y=k在區(qū)間[-

π

2

，

π

2

]上的零點的個數(shù)為m，結合函數(shù)f（x）的圖象可得：
當k＞4，或 k＜-4時，m=0；
當k=4，或 k=-4時，m=1；
當-4＜k＜-2，或-2＜k＜4時，m=2；
當k=-2時，m=3．

點評：本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換，正弦函數(shù)的單調性，方程根的存在性及個數(shù)判斷，體現(xiàn)了轉化、分類討論的數(shù)學思想，屬于中檔題．