Question

已知平面向量

a

，

b

，

c

滿(mǎn)足|

a

|=

2

，|

b

|=1，

a

•

b

=-1，且

a

-

c

與

b

-

c

的夾角為45°，則|

c

|的最大值等于（　�。�

• A、

  10

• B、2
• C、

  2

• D、1

Answer 1

考點(diǎn)：正弦定理,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專(zhuān)題：解三角形,平面向量及應(yīng)用

分析：由于平面向量

a

，

b

，滿(mǎn)足|

a

|=

2

，|

b

|=1，

a

•

b

=-1，利用向量的夾角公式可得＜

a

，

b

＞=135°．由于

a

-

c

與

b

-

c

的夾角為45°，可得點(diǎn)C在△OAB的外接圓的弦AB所對(duì)的優(yōu)弧上，因此可得|

c

|的最大值為△OAB的外接圓的直徑．

解答：解：設(shè)

OA

=

a

，

OB

=

b

，

OC

=

c

．
∵平面向量

a

，

b

，滿(mǎn)足|

a

|=

2

，|

b

|=1，

a

•

b

=-1，
∴cos＜

a

，

b

＞=

a • b

| a | | b |

=

-1

2 ×1

=-

2

2

，∴＜

a

，

b

＞=135°．
∵

a

-

c

與

b

-

c

的夾角為45°，
∴點(diǎn)C在△OAB的外接圓的弦AB所對(duì)的優(yōu)弧上，如圖所示．
因此|

c

|的最大值為△OAB的外接圓的直徑．
∵|

a

-

b

|=

a 2+ b 2-2 a • b

=

( 2 )2+12-2×(-1)

=

5

．
由正弦定理可得：△OAB的外接圓的直徑2R=

| a - b |

sin135°

=

5

2 2

=

10

．
故選：A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了向量的夾角公式、三角形法則、數(shù)形結(jié)合的思想方法、正弦定理等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，考查了推理能力，屬于難題．