Question

已知E，F(xiàn)分別為棱長為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱B₁C₁，A₁D₁的中點(diǎn)，問在棱A₁B₁上是否有一點(diǎn)G，使得AG∥面FBED₁，并說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面平行的性質(zhì)

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：以D為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz，由此利用向量法能求出在棱A₁B₁上是沒有一點(diǎn)G，使得AG∥面FBED₁．

解答： 解：如圖，以D為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz，
D₁（0，0，2），F(xiàn)（1，0，2），B（2，2，0），

D1F

=（1，0，0），

D1B

=（2，2，-2），
設(shè)平面FBED₁的法向量

n

=(x，y，z)，
則

n • D1F =x=0 n • D1B =2x+2y-2z=0

，
取y=1，得

n

=（0，1，1），
假設(shè)棱A₁B₁上有一點(diǎn)G（2，b，2），使得AG∥面FBED₁，
∵

AG

=（0，b，2），∴

AG

•

n

=b+2=0，解得b=-2．
∴點(diǎn)G不在棱A₁B₁上．
故假設(shè)不成立，
∴在棱A₁B₁上不存在一點(diǎn)G，使得AG∥面FBED₁．

點(diǎn)評：本題考查滿足條件的點(diǎn)是否存在的判斷與求法，是中檔題，解題時(shí)要注意向量法的合理運(yùn)用．