Question

8．已知拋物線C的頂點為坐標原點，焦點為F（0，1），
（1）求拋物線C的方程；
（2）過點F作直線l交拋物線于A，B兩點，若直線AO，BO分別與直線y=x-2交于M，N兩點，求|MN|的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設(shè)拋物線的方程為x²=2py，由題意可得p=2，進而得到拋物線的方程；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線AB的方程為y=kx+1，代入拋物線方程，運用韋達定理，求得M，N的橫坐標，運用弦長公式，化簡整理，即可得到所求范圍．

解答 解：（1）由題意可設(shè)拋物線的方程為x²=2py，
由焦點為F（0，1），可得$\frac{p}{2}$=1，即p=2，
則拋物線的方程為x²=4y；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
直線AB的方程為y=kx+1，代入x²=4y，得
x²-4kx-4=0，x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4，
$|{x_1}-{x_2}|=4\sqrt{{k^2}+1}$，
由y=x-2和y=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$x聯(lián)立，得${x_M}=\frac{8}{{4-{x_1}}}$，同理${x_N}=\frac{8}{{4-{x_2}}}$，
所以$|MN|=\sqrt{2}|{x_M}-{x_N}|$=$\frac{{8\sqrt{2}\sqrt{{k^2}+1}}}{|4k-3|}$，
令4k-3=t，t≠0，則$k=\frac{t+3}{4}$，
則$|MN|=2\sqrt{2}\sqrt{\frac{25}{t^2}+\frac{6}{t}+1}=2\sqrt{2}\sqrt{{{（\frac{5}{t}+\frac{3}{5}）}^2}+\frac{16}{25}}≥\frac{8}{5}\sqrt{2}$，
則所求范圍為$[{\frac{8}{5}\sqrt{2}，+∞}）$．

點評 本題考查拋物線的方程的求法，注意運用待定系數(shù)法，考查直線方程和拋物線的方程聯(lián)立，運用韋達定理和弦長公式，考查化簡整理的能力，屬于中檔題．