【題目】已知橢圓方程為，射線與橢圓的交點(diǎn)為M，過M作傾斜角互補(bǔ)的兩條直線，分別與橢圓交于A，B兩點(diǎn)（異于M）．

（1）求證：直線AB的斜率為定值；

（2）求面積的最大值。

【答案】（1）見解析；（2）。

【解析】

（1）先求出點(diǎn)，結(jié)合題意設(shè)直線MA的方程為，解方程組得到，同理得到，進(jìn)而得到，為定值．（2）由（1）可設(shè)直線AB的方程為，與橢圓方程聯(lián)立得到關(guān)于的方程，結(jié)合判別式可得．再由（1）可得點(diǎn)到直線AB的距離為，，

進(jìn)而求得的面積，最后結(jié)合基本不等式可得所求．

（1）證明：由，解得．

∴．

∵過M作的兩條直線斜率都存在，不防設(shè)直線MA的斜率為，且，

則直線MA的方程為，

由消去

，

∴，

∴．

同理得直線MB的方程為，可得．

∴，為定值．

（2）解：由（1）設(shè)直線AB的方程為，

由消去整理得，

∵直線AB與橢圓交于兩點(diǎn)，

∴，

解得．

又點(diǎn)到直線AB的距離為，

=．

設(shè)的面積為S，

則，

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立．

∴面積的最大值為．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA＝2，∠ABC＝90°，，BC＝1， ，∠ACD＝60°，E為CD的中點(diǎn)．

(1)求證：BC∥平面PAE；

(2)求點(diǎn)A到平面PCD的距離．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，側(cè)面是等邊三角形且垂直于底面，底面是矩形，，是的中點(diǎn).

（1）證明：平面；

（2）點(diǎn)在棱上，且直線與直線所成角的余弦值為，求二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD為等邊三角形，AD＝DE＝2AB＝2a，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)．

(1)求證：AF∥平面BCE；

(2)判斷平面BCE與平面CDE的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，正方形ABCD和四邊形ACEF所在的平面互相垂直，CE⊥AC，EF∥AC，AB=，．

（1）求證：CF⊥平面BDE；

（2）求二面角A-BE-D的大小。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

(1)若f (x)在區(qū)間(－∞，2)上為單調(diào)遞增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(2)若a＝0，x0<1，設(shè)直線y＝g(x)為函數(shù)f (x)的圖象在x＝x0處的切線，求證:f (x)≤g(x).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)，，函數(shù).

（Ⅰ）設(shè)不等式的解集為C，當(dāng)時(shí)，求實(shí)數(shù)取值范圍；

（Ⅱ）若對(duì)任意，都有成立，試求時(shí)，的值域；

（Ⅲ）設(shè)，求的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓：，其離心率為，以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短軸長(zhǎng)為直徑的圓被直線截得的弦長(zhǎng)等于.

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)為橢圓的左頂點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為，與軸相交于點(diǎn)，過原點(diǎn)與平行的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，問是否存在常數(shù)，使恒成立？若存在，求出；若不存在，請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù) 的圖像如圖所示.

（1）求函數(shù)的解析式；

（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最大值和最小值.

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