Question

已知f（x）=x|x-a|+b，x∈R．
（1）當a=1，b=1時．f（2^x）=

5

4

，求x的值；
（2）若b＜0，b為常數(shù)，任意x∈[0，1]，不等式f（x）＜0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：利用換元法將函數(shù)轉化為關于t的一元二次函數(shù)，利用指數(shù)函數(shù)的圖象和性質即可求出方程的解．將不等式恒成立轉化為求函數(shù)的最值即可得到結論．

解答： 解：（1）當a=1，b=1時，f（x）=x|x-a|+b=x|x-1|+1，
若x≥1時，則f（x）=x²-x+1，
當x＜1時，f（x）=-x²+x+1，
設t=2^x，
若x≥0，則t≥1，
此時由f（2^x）=

5

4

，得t²-t+1=

5

4

，
即（t-

1

2

）²=

1

2

，
∴t=

1

2

+

2

2

=

1+ 2

2

，
∴x=log₂

1+ 2

2

．
當x＜0時，t＜1，
此時由f（2^x）=

5

4

，得-t²+t+1=

5

4

，
即-（t-

1

2

）²+

1

4

=

1

4

，
∴t=

1

2

，∴x=log₂

1

2

=-1．
（2）∵b＜0
∴當x=0時，f（x）=b＜0恒成立，∴a∈R
當0＜x≤1時，f（x）＜0，即|x²-ax|＜b，
∴b＜x²-ax＜-b，
∴（x+

b

x

）_max＜x＜（x-

b

x

）_min恒成立
令g（x）=x+

b

x

，則當b＜0時，g（x）在[0，1]上是增函數(shù)，
∴a＞g_max=g（1）=1+b，
令h（x）=x-

b

x

，當-1≤b＜0時，在（0，1]上x-

b

x

=x+

-b

x

≥2

-b

，
當x=

-b

時，取得最小值2

-b

，此時要使a存在，則滿足

1+b＜2 -b -1≤b＜0

，即-1≤b＜-3+2

2

，
當b＜-1時，在（0，1]上h（x）=x-

b

x

，為減函數(shù)，當x=1時，函數(shù)取得最小值，∴（x-

b

x

）_min=1-b，
綜上所述，當-1≤b＜-3+2

2

時，a的取值范圍是（1+b，2

-b

），
當b＜-1時，a的取值范圍是（1+b，1-b）．

點評：本題主要考查與指數(shù)函數(shù)有關的指數(shù)方程的求解，利用換元法是解決指數(shù)型方程的基本方法，將不等式恒成立轉化為求函數(shù)的最值是解決不等式恒成立的常用方法．