Question

設(shè)向量，，函數(shù)．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（Ⅲ）求函數(shù)f（x）在上的最大值和最小值．

Answer 1

解：（Ⅰ）由題意可得 函數(shù)f（x）==（sinx，cosx）•（sinx+cosx，2cosx）=sinx（sinx+cosx ）+2cos²x=1+sin2x+
=+cos（2x+），
故函數(shù)的周期等于 =π．
（Ⅱ）令 2kπ-≤2x+≤2kπ+，k∈z，kπ-≤x≤kπ+，k∈z，故函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為[kπ-，kπ+]，k∈z．
（Ⅲ）由于，故2x+∈，故當2x+=-時，函數(shù)取得最小值為1，當 2x+=時，函數(shù)取得最大值為 ．
分析：（Ⅰ）利用三角函數(shù)的恒等變換化簡函數(shù)f（x）的解析式為 +cos（2x+），由此求得它的周期．
（Ⅱ）令 2kπ-≤2x+≤2kπ+，k∈z，求得x的范圍，即可求得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間．
（Ⅲ）由于，故2x+∈，結(jié)合函數(shù)圖象可得函數(shù)的最小值和函數(shù)的最大值．
點評：本題主要考查兩個向量的數(shù)量積公式，三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值，三角函數(shù)的周期性和求法，求復合三角函數(shù)的增區(qū)間，屬于中檔題．