Question

（本小題滿分12分）

如圖，在直三棱柱中，，，分別為，的中點，四邊形是邊長為的正方形．

（Ⅰ）求證：∥平面；

（Ⅱ）求證：平面；

（Ⅲ）求二面角的余弦值．

 

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）證明：連結(jié)，與交于點，連結(jié)．

因為，分別為和的中點，

所以∥．

又平面，

平面，

所以∥平面．             ……………………4分

（Ⅱ）證明：在直三棱柱中，

平面，又平面，

所以．

因為，為中點，

所以．又，

所以平面．

又平面，

所以．

因為四邊形為正方形，，分別為，的中點，

所以△≌△，．

所以．

所以．

又，

所以平面．                ……………………8分

（Ⅲ）解：如圖，以的中點為原點，建立空間直角坐標(biāo)系．

則．

由（Ⅱ）知平面，所以為平面的一個法向量．

設(shè)為平面的一個法向量，

，．

由可得

令，則．

所以．

從而．

因為二面角為銳角，

所以二面角的余弦值為．………12分

 

【解析】略