Question

已知函數(shù)f（x）=（x³-6x²+3x+t）e^x，t∈R．
（1）若函數(shù)y=f（x）有三個極值點，求t的取值范圍；
（2）若f（x）依次在x=a，x=b，x=c（a＜b＜c）處取到極值，且a+c=2b²，求f（x）的零點；
（3）若存在實數(shù)t∈[0，2]，使對任意的x∈[1，m]，不等式f（x）≤x恒成立，試求正整數(shù)m的最大值．

Answer 1

考點：導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用,利用導數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）由已知得f′（x）=（x³-3x²-9x+t+3）e^x，令g（x）=x³-3x²-9x+t+3，由此能求出t的取值范圍．
（2）由已知得x³-3x²-9x+t+3=（x-a）（x-b）（x-c）=x³-（a+b+c）x²+（ab+bc+ac）x-abc，由此能求出f（x）的零點．
（3）不等式f（x）≤x等價于（x³-6x²+3x+t）e^x≤x，轉化為存在實數(shù)t∈[0，2]，使對任意的x∈[1，m]，不等式t≤xe^-x-x³+6x²-3x恒成立．設φ（x）=e^-x-x²+6x-3，則φ′（x）=-e^-x-2x+6．由此能求出使命題成立的正整數(shù)m的最大值為5．

解答： 解：（1）∵f（x）=（x³-6x²+3x+t）e^x，t∈R．
∴f′（x）=（3x²-12x+3）e^x+（x³-6x²+3x+t）
=（x³-3x²-9x+t+3）e^x，
∵f（x）有3個極值點，∴x³-3x²-9x+t+3=0有3個不同的根，（2分）
令g（x）=x³-3x²-9x+t+3，則g′（x）=3x²-6x-9=3（x+1）（x-3），
從而函數(shù)g（x）在（-∞，-1），（3，+∞）上遞增，在（-1，3）上遞減．
∵g（x）有3個零點，∴

g(-1)＞0 g(3)＜0

，∴-8＜t＜24．（4分）
（2）∵a，b，c是f（x）的三個極值點
∴x³-3x²-9x+t+3=（x-a）（x-b）（x-c）
=x³-（a+b+c）x²+（ab+bc+ac）x-abc，（6分）
∴

a+b+c=3 ab+ac+bc=-9 t+3=-abc a+c=2b2

，∴b=1或b=-

3

2

（舍，∵b∈（-1，3））
∴

a=1-2 3 b=1 c=1+2 3

，
∴f（x）的零點分別為1-2

3

，1，1+2

3

．（10分）
（3）不等式f（x）≤x，等價于（x³-6x²+3x+t）e^x≤x，
即t≤xe^-x-x³+6x²-3x．
轉化為存在實數(shù)t∈[0，2]，使對任意的x∈[1，m]，
不等式t≤xe^-x-x³+6x²-3x恒成立．
即不等式0≤xe^-x-x³+6x²-3x在x∈[1，m]上恒成立．
即不等式0≤e^-x-x²+6x-3在x∈[1，m]上恒成立．（12分）
設φ（x）=e^-x-x²+6x-3，則φ′（x）=-e^-x-2x+6．
設r（x）=φ′（x）=-e^-x-2x+6，則r′（x）=e^-x-2．
因為1≤x≤m，有r′（x）＜0．所以r（x）在區(qū)間[1，m]上是減函數(shù)．
又r（1）=4-e^-1＞0，r（2）=2-e^-2＞0，r（3）=-3^-3＜0，
故存在x₀∈（2，3），使得r（x₀）=φ′（x₀）=0．
當1≤x＜x₀時，有φ′（x）＞0，當x＞x₀時，有φ′（x）＜0．
從而y=φ（x）在區(qū)間[1，x₀]上遞增，在區(qū)間[x₀，+∞）上遞減．
又φ（1）=e^-1+4＞0，φ（2）=e^-2+5＞0，φ（3）=e^-3+6＞0，
φ（4）=e^-4+5＞0，φ（5）=e^-5+2＞0，φ（6）=e^-6-3＜0．
所以，當1≤x≤5時，恒有φ（x）＞0；
當x≥6時，恒有φ（x）＜0．
故使命題成立的正整數(shù)m的最大值為5．（16分）

點評：本題考查實數(shù)的取值范圍的求法，考查函數(shù)的零點的求法，考查正整數(shù)的最大值的求法，解題時要認真審題，注意構造法和等價轉化思想的合理運用．