Question

求函數(shù)y=x²+4的值域.

Answer 1

分析：利用函數(shù)的單調(diào)性是討論函數(shù)值域的重要方法.直接求導(dǎo)計(jì)算繁雜.通過換元t=,將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)y=t⁴-4t²+4t+4在［0，+∞］上的值域.

解：設(shè)≥0,則x=2-t².y=t⁴-4t²+4t+4(t≥0),設(shè)f(t)=t⁴-4t²+4t+4,f′(t)=4t³-8t+4

=4(t-1)(t-)(t+).令f′（t）=0得t₁=1,t₂=,t₃=- (舍去).

當(dāng) 0≤t＜,f′(t)＞0,當(dāng)＜t＜1時，f′(t)＜0,當(dāng)t＞1時，f′(t)＞0.又f(0)=4,f(1)=5，f(t)=+∞.故函數(shù)y=f(t)的最小值為4無最大值.即所求函數(shù)的值域是［4，+∞).